Calcule f^prime prime e seu respectivo domínio para f(x)=llx^2 cdot cos (1x), & se x neq 0 0, & se x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x^2cosl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
e pede a segunda derivada f'' e seu domínio. Vamos usar regras de derivação (produto, cadeia) para xneq0 e a definição de derivada em 0 para verificar existência de f'(0) e f''(0).

Passo 2

Para xneq0, apliquei a regra do produto em
f(x)=x^2cosl(tfrac1xr)
Isso dá
f'(x) =2xcosl(tfrac1xr) +x^2l(-sinl(tfrac1xr)r)cdotl(-tfrac1x^2r) =2xcosl(tfrac1xr)+sinl(tfrac1xr)

Passo 3

Em x=0, uso a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h =limhto0h^2cosl(tfrac1hr)h =limhto0hcosl(tfrac1hr)=0
Logo f' existe em todo R.

Passo 4

Para xneq0, derivo
f'(x)=2xcosl(tfrac1xr)+sinl(tfrac1xr)
Aplicando produto e cadeia:
ddxl(2xcos(tfrac1x)r) =2cosl(tfrac1xr) +2xl(-sinl(tfrac1xr)r)l(-tfrac1x^2r) =2cosl(tfrac1xr)+2sinl(tfrac1xr)x,
ddxsinl(tfrac1xr) =cosl(tfrac1xr)cdotl(-tfrac1x^2r) =-cosl(tfrac1xr)x^2
Somando, para xneq0:
f''(x) =2cosl(tfrac1xr) +2sinl(tfrac1xr)x -cosl(tfrac1xr)x^2

Passo 5

Em x=0, verifico
limhto0f'(h)-f'(0)h =limhto02hcos(tfrac1h)+sin(tfrac1h)h =2cosl(tfrac1hr)+sin(tfrac1h)h,
que não converge (o segundo termo oscila e é não limitado). Logo f''(0) não existe.

Resposta

Para xneq0:
f''(x) =2cosl(tfrac1xr) +2sinl(tfrac1xr)x -cosl(tfrac1xr)x^2
Domínio de f'': Rsetminus0.

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