Sejam
e
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(a) Determine
e
.
(a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções definidas assim:
A tarefa é descobrir a composição das funções, ou seja, $ (f \circ g)(x) $ e $ (g \circ f)(x) $. Para isso, vamos usar o conceito de composição de funções, que basicamente significa aplicar uma função dentro da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ (f \circ g)(x) $. Isso significa que vamos aplicar a função $ g $ primeiro e depois a função $ f $ no resultado.
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos substituir $ \frac{x - 1}{2} $ na função $ f $. Mas atenção: como $ f $ é uma função definida por partes, devemos verificar em qual parte se encaixa o valor de $ g(x) $.
Vamos descobrir para quais valores de $ x $ temos $ \frac{x - 1}{2} < 1 $ e para quais $ \frac{x - 1}{2} \geq 1 $.
Resolvendo $ \frac{x - 1}{2} < 1 $:
E para $ \frac{x - 1}{2} \geq 1 $:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essas condições na função $ f $:
- Para $ x < 3 $:
- Para $ x \geq 3 $:
Passo 5
Então, juntando tudo, a composição $ (f \circ g)(x) $ fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ (g \circ f)(x) $. Isso significa aplicar a função $ f $ primeiro e depois a função $ g $.
Então, temos:
Passo 7
Precisamos considerar as duas partes da função $ f $:
- Para $ x < 1 $:
- Para $ x \geq 1 $:
Passo 8
Assim, a composição $ (g \circ f)(x) $ fica:
Resposta
As composições das funções são: