Sejam f(x)=ll2 x^2-1, & se x<1 2-x^2, & se x >= 1 e g(x)=x-12.
(a) Determine (f circ g)(x) e (g circ f)(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções definidas assim:
f(x) = 2x^2 - 1, & se x < 1 2 - x^2, & se x >= 1
g(x) = x - 12
A tarefa é descobrir a composição das funções, ou seja, $ (f \circ g)(x) $ e $ (g \circ f)(x) $. Para isso, vamos usar o conceito de composição de funções, que basicamente significa aplicar uma função dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar $ (f \circ g)(x) $. Isso significa que vamos aplicar a função $ g $ primeiro e depois a função $ f $ no resultado.
Então, temos:
(f circ g)(x)

Passo 3

Agora, precisamos substituir $ \frac{x - 1}{2} $ na função $ f $. Mas atenção: como $ f $ é uma função definida por partes, devemos verificar em qual parte se encaixa o valor de $ g(x) $.
Vamos descobrir para quais valores de $ x $ temos $ \frac{x - 1}{2} < 1 $ e para quais $ \frac{x - 1}{2} \geq 1 $.
Resolvendo $ \frac{x - 1}{2} < 1 $:
x - 12
E para $ \frac{x - 1}{2} \geq 1 $:
f

Passo 4

Agora, vamos aplicar essas condições na função $ f $:
  1. Para $ x < 3 $:
f
  1. Para $ x \geq 3 $:
x < 3

Passo 5

Então, juntando tudo, a composição $ (f \circ g)(x) $ fica:
(f circ g)(x)

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ (g \circ f)(x) $. Isso significa aplicar a função $ f $ primeiro e depois a função $ g $.
Então, temos:
(g circ f)(x)

Passo 7

Precisamos considerar as duas partes da função $ f $:
  1. Para $ x < 1 $:
f
  1. Para $ x \geq 1 $:
x < 1

Passo 8

Assim, a composição $ (g \circ f)(x) $ fica:
(g circ f)(x)

Resposta

As composições das funções são:
(f circ g)(x) = (x - 1)^22 - 1, & se x < 3 2 - (x - 1)^24, & se x >= 3
(g circ f)(x) = x^2 - 1, & se x < 1 1 - x^22, & se x >= 1

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