(x^2+y) d x+(y^2+x) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(x² + y) dx + (y² + x) dy = 0. Aqui precisamos usar o conceito de equação exata e método de função potencial para encontrar a solução implícita.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = x² + y e N(x,y) = y² + x. Calculamos ∂M/∂y = 1 e ∂N/∂x = 1. Como ∂M/∂y = ∂N/∂x a equação é exata em qualquer domínio onde tudo seja contínuo.

Passo 3

Sendo exata, existe uma função potencial φ(x,y) tal que ∂φ/∂x = M. Integramos M em relação a x:

Logo φ(x,y) = x³/3 + x y + h(y).

Passo 4

Derivamos φ em relação a y:

Igualamos a N(x,y) = y² + x: x + h’(y) = y² + x ⇒ h’(y) = y². Integrando em y: h(y) = y³/3 + constante.

Passo 5

Substituindo h(y) obtemos a função potencial completa:

A solução geral implícita é φ(x,y) = C.

Resposta

x^33 + x y + y^33 = C

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