Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(x² + y) dx + (y² + x) dy = 0. Aqui precisamos usar o conceito de equação exata e método de função potencial para encontrar a solução implícita.
(x² + y) dx + (y² + x) dy = 0. Aqui precisamos usar o conceito de equação exata e método de função potencial para encontrar a solução implícita.
Passo 2
Identificamos M(x,y) = x² + y e N(x,y) = y² + x. Calculamos ∂M/∂y = 1 e ∂N/∂x = 1. Como ∂M/∂y = ∂N/∂x a equação é exata em qualquer domínio onde tudo seja contínuo.
Passo 3
Sendo exata, existe uma função potencial φ(x,y) tal que ∂φ/∂x = M. Integramos M em relação a x:
Logo φ(x,y) = x³/3 + x y + h(y).
Logo φ(x,y) = x³/3 + x y + h(y).
Passo 4
Derivamos φ em relação a y:
Igualamos a N(x,y) = y² + x: x + h’(y) = y² + x ⇒ h’(y) = y². Integrando em y: h(y) = y³/3 + constante.
Igualamos a N(x,y) = y² + x: x + h’(y) = y² + x ⇒ h’(y) = y². Integrando em y: h(y) = y³/3 + constante.
Passo 5
Substituindo h(y) obtemos a função potencial completa:
A solução geral implícita é φ(x,y) = C.
A solução geral implícita é φ(x,y) = C.