C3. Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f. Sugestão. Utilize o exercício C 1 .
(a) f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2.

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=x^4y-2x^3y^2. O objetivo é achar as derivadas parciais de segunda ordem fxx, fxy, fyx e fyy. Para isso, primeiro vamos calcular as primeiras derivadas parciais fx e fy, usando o conceito de derivada parcial (derivar em relação a uma variável mantendo a outra constante).

Passo 2

Para obter fx, derivamos f em relação a x, tratando y como constante. Aplicando a regra do poder:
fx = partialpartial x(x^4 y) - partialpartial x(2x^3 y^2) = 4x^3y - 6x^2y^2

Passo 3

Para obter fy, derivamos f em relação a y, tratando x como constante. Novamente, usando a regra do poder:
fy = partialpartial y(x^4 y) - partialpartial y(2x^3 y^2) = x^4 - 4x^3y

Passo 4

Agora calculamos fxx derivando fx em relação a x:
fxx = partialpartial x(4x^3y - 6x^2y^2) = 12x^2y - 12xy^2

Passo 5

Em seguida, vamos às derivadas mistas. Para fxy, derivamos fx em relação a y; para fyx, derivamos fy em relação a x. Como f é duas vezes diferenciável, devemos ter fxy=fyx. Calculando ambas:
fxy = partialpartial y(4x^3y - 6x^2y^2) = 4x^3 - 12x^2y,
fyx = partialpartial x(x^4 - 4x^3y) = 4x^3 - 12x^2y

Passo 6

Por fim, para fyy, derivamos fy em relação a y:
fyy = partialpartial y(x^4 - 4x^3y) = -4x^3

Resposta

fxx=12x^2y-12xy^2, fxy=fyx=4x^3-12x^2y, fyy=-4x^3.

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