C3. Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Sugestão. Utilize o exercício
.
(a)
.
(a)
Passo 1
Estamos com a função
. O objetivo é achar as derivadas parciais de segunda ordem
,
,
e
. Para isso, primeiro vamos calcular as primeiras derivadas parciais
e
, usando o conceito de derivada parcial (derivar em relação a uma variável mantendo a outra constante).
Passo 2
Para obter
, derivamos
em relação a
, tratando
como constante. Aplicando a regra do poder:
Passo 3
Para obter
, derivamos
em relação a
, tratando
como constante. Novamente, usando a regra do poder:
Passo 4
Agora calculamos
derivando
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos às derivadas mistas. Para
, derivamos
em relação a
; para
, derivamos
em relação a
. Como
é duas vezes diferenciável, devemos ter
. Calculando ambas:
Passo 6
Por fim, para
, derivamos
em relação a
: