Faça o que se pede:
Verifique se existe lim (x, y) (0,0) x^5x^5+y^5. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite de f(x,y)=x^5x^5+y^5 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar testar diferentes caminhos para ver se o valor depende do trajeto.

Passo 2

Vamos usar dois caminhos simples: substituindo y=0 temos f(x,0)=x^5x^5+0=1 para todo xneq0, logo ao aproximar (x,0)to(0,0) o limite vale 1. Substituindo x=0 temos f(0,y)=00+y^5=0 para yneq0, então aproximando (0,y)to(0,0) o limite vale 0.

Passo 3

Para ver que o valor muda conforme a direção, considere o caminho genérico y=kx com constante k. Substituindo na função, a expressão torna-se
f(x,kx)=x^5x^5+(kx)^5=x^5x^5+k^5x^5=11+k^5
Isso mostra que o limite vale 1/(1+k^5), que depende de k.

Passo 4

Como pelo menos dois caminhos já deram resultados diferentes (por exemplo 1 e 0) e em geral varia com k, concluímos que o limite não é único.

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