Faça o que se pede:
Determine se a função f, definida por
f(x, y)=ccc x^37 x^2+7 y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 1, & se & (x, y)=(0,0)
é contínua em (0,0). Justifique

Passo 1

Vamos resolver uma questão sobre continuidade de funções de duas variáveis. A função dada é:
f(x, y)=ccc x^37 x^2+7 y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 1, & se & (x, y)=(0,0)
Nosso objetivo é determinar se essa função é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x, y) é contínua no ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x,y) to (a,b) f(x, y) = f(a, b)
No nosso caso, queremos verificar se:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0, 0)
Sabemos que f(0,0) = 1, então precisamos calcular o limite da função quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 3

Para calcular o limite de f(x, y) quando (x,y) to (0,0), vamos usar as coordenadas polares. Isso facilita o processo porque todas as direções que (x,y) pode se aproximar de (0,0) são consideradas de forma uniforme.
Nas coordenadas polares, temos:
  • x = r cos(theta)
  • y = r sin(theta)
Onde r é a distância de (x,y) até a origem (0,0), e theta é o ângulo.
Substituindo na função:
f(x, y) = (r cos(theta))^37 (r cos(theta))^2 + 7 (r sin(theta))^2 = r^3 cos^3(theta)7 r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta))
Sabemos que cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1, então simplificando:
f(x, y) = r^3 cos^3(theta)7 r^2 = r cos^3(theta)7
Agora, vamos calcular o limite quando r to 0:
limr to 0 r cos^3(theta)7 = 0 cdot cos^3(theta)7 = 0
Isso mostra que, independentemente do valor de theta, o limite de f(x, y) quando (x,y) to (0,0) é 0.

Passo 4

Agora, vamos comparar o limite que encontramos com o valor da função no ponto (0,0). Calculamos que:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = 0
Enquanto que:
f(0,0) = 1
Como 0 neq 1, concluímos que o limite da função quando (x,y) se aproxima de (0,0) não é igual ao valor da função nesse ponto.

Resposta

A função f não é contínua em (0,0) porque o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) é diferente do valor da função nesse ponto.

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