Faça o que se pede:
Determine se a função , definida por
é contínua em (0,0). Justifique
Passo 1
Vamos resolver uma questão sobre continuidade de funções de duas variáveis. A função dada é:
f(x, y)=ccc x^37 x^2+7 y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 1, & se & (x, y)=(0,0)
Nosso objetivo é determinar se essa função é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x, y) é contínua no ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x,y) to (a,b) f(x, y) = f(a, b)
No nosso caso, queremos verificar se:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0, 0)
Sabemos que f(0,0) = 1, então precisamos calcular o limite da função quando (x,y) se aproxima de (0,0).
Passo 3
Para calcular o limite de f(x, y) quando (x,y) to (0,0), vamos usar as coordenadas polares. Isso facilita o processo porque todas as direções que (x,y) pode se aproximar de (0,0) são consideradas de forma uniforme.
Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Onde r é a distância de (x,y) até a origem (0,0), e theta é o ângulo.