(C5652) Considere a seguinte expressão numérica:
\sqrt{3} \cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})
O valor numérico resultante dessa operação é
A) \sqrt{8}
B) 3+\sqrt{5}
C) 3+\sqrt{6}
D) 9+\sqrt{6}
E) \sqrt{11}+\sqrt{6}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})
e pede o valor numérico resultante, com as alternativas:
A) \sqrt{8}
B) 3+\sqrt{5}
C) 3+\sqrt{6}
D) 9+\sqrt{6}
E) \sqrt{11}+\sqrt{6}

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades simples e importantes que vou usar:
  • Distributiva da multiplicação sobre a adição: para quaisquer números a,b,c,
a(b+c)=ab+ac.
Aqui a é o fator que multiplica a soma b+c.
  • Multiplicação de raízes quadradas: para x\ge0 e y\ge0,
\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{xy}.
Isso permite transformar produto de radicais em um único radical quando os argumentos são não-negativos.

Passo 3

Aplicando a propriedade distributiva à expressão \sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2}), temos
\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}.

Passo 4

Agora uso a propriedade da multiplicação de raízes para cada termo:
\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3\cdot3}=\sqrt{9}, \qquad \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{3\cdot2}=\sqrt{6}.
Logo a soma fica
\sqrt{9}+\sqrt{6}.

Passo 5

Simplifico \sqrt{9}: como 9 é um quadrado perfeito e \sqrt{9}=3, obtemos
\sqrt{9}+\sqrt{6}=3+\sqrt{6}.

Passo 6

Fazendo uma checagem numérica rápida (para ganhar confiança): \sqrt{3}\approx1{,}732 e \sqrt{2}\approx1{,}414, então
\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})\approx1{,}732\cdot(1{,}732+1{,}414)=1{,}732\cdot3{,}146\approx5{,}449.
E 3+\sqrt{6} com \sqrt{6}\approx2{,}449 também dá aproximadamente 5{,}449. Confere.

Resposta

C) 3+\sqrt{6}

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