(C5654) Considere o sistema de equações lineares abaixo:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y=4 \\\\ 2 x+4 y=12 \end{array}\right.
A representação geométrica desse sistema no plano cartesiano consiste em duas retas que são
A) paralelas.
B) horizontais.
C) transversais.
D) coincidentes.
E) perpendiculares.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+2y=4,\\[4pt] 2x+4y=12, \end{array}\right.
e pergunta qual é a representação geométrica das duas retas correspondentes no plano cartesiano, entre as opções:
A) paralelas.
B) horizontais.
C) transversais.
D) coincidentes.
E) perpendiculares.
As informações relevantes dadas são exatamente as duas equações acima (cada uma representa uma reta no plano).]

Passo 2

Vamos escrever a primeira equação na forma inclinada (forma “declive‑intercepto”) \,y = m x + b\,, que facilita ler o coeficiente angular (declive) m e o intercepto b.
Partindo de \,x+2y=4\,:
2y=4-x
y=-\tfrac{1}{2}x+2.
Portanto, da primeira reta obtemos o declive \,m_1=-\tfrac{1}{2}\, e o intercepto no eixo y igual a \,2.

Passo 3

Breve explicação didática sobre declive (slope): para uma reta escrita como \,y=mx+b\,,
  • m é o declive (slope), que indica quanto y varia quando x aumenta de 1. Se m>0 a reta sobe, se m<0 desce, se m=0 é horizontal.
  • b é o ponto onde a reta corta o eixo y (quando x=0).
Exemplo concreto: para \,y=-\tfrac{1}{2}x+2\,, se x aumenta de 1, y diminui de \tfrac{1}{2}; o ponto (0,2) está na reta.

Passo 4

Agora a segunda equação. A partir de \,2x+4y=12\,:
4y=12-2x
y=-\tfrac{1}{2}x+3.
Da segunda reta temos o declive \,m_2=-\tfrac{1}{2}\, e o intercepto no eixo y igual a \,3.

Passo 5

Comparando as duas retas:
  • Os declives são iguais: \,m_1=m_2=-\tfrac{1}{2}\,. Retas com o mesmo declive são paralelas ou coincidentes.
  • Os interceptos são diferentes: 2 e 3. Como não têm o mesmo intercepto, não são a mesma reta (não são coincidentes).
Verificação adicional (rápida): se fossem coincidentes, a segunda equação seria múltiplo da primeira. Multiplicando a primeira por 2 obtém-se 2x+4y=8, que tem RHS diferente de 12; logo não são múltiplas — são retas distintas com mesmo declive.
Também não são perpendiculares porque, para retas perpendiculares, o produto dos declives deve ser -1. Aqui \,m_1\cdot m_2 = \big(-\tfrac{1}{2}\big)\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{4}\neq -1\,. Nem são horizontais pois o declive não é 0.
Portanto as duas retas são paralelas e distintas.

Resposta

A) paralelas.

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