C8. Considere a função f(x, y)=x^2+2 x y-3 y^2 e a parametrização x(u, v)=u^2-v^2 e y(u, v)=u v.
(b) Use a regra da cadeia para calcular partial f / partial u e partial f / partial v em termos das variáveis originais e de u e v.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2+2xy-3y^2
e a parametrização
x(u,v)=u^2-v^2, y(u,v)=u,v
Pede-se para usar a regra da cadeia em variáveis multivariadas, ou seja, calcular partial f/partial u e partial f/partial v sabendo que
partial fpartial u =partial fpartial x,partial xpartial u +partial fpartial y,partial ypartial u, partial fpartial v =partial fpartial x,partial xpartial v +partial fpartial y,partial ypartial v

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a x e a y, tratando x e y como variáveis independentes:
partial fpartial x =2x+2y, partial fpartial y =2x-6y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais da parametrização:
partial xpartial u=2u, partial xpartial v=-2v, partial ypartial u=v, partial ypartial v=u

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial f/partial u:
partial fpartial u =(2x+2y)cdot(2u)+(2x-6y)cdot v

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para partial f/partial v:
partial fpartial v =(2x+2y)cdot(-2v)+(2x-6y)cdot u

Resposta

partial fpartial u =(2x+2y),2u+(2x-6y),v, partial fpartial v =(2x+2y)(-2v)+(2x-6y),u

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