A função diferenciável z=f(x, y) é dada implicitamente pela equa¢̧ão
x^2+2 y^2+2 z^2+4 x y z=3
Determine partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função z = f(x, y) que está definida pela equação x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 + 4 x y z = 3. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é super útil quando z está relacionada com x e y de forma indireta, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial x. Para isso, vamos diferenciar toda a equação em relação a x. Lembre-se que quando diferenciamos uma função implícita, aplicamos a regra da cadeia. Isso significa que, ao derivar termos que envolvem z, a gente também precisa multiplicar pela derivada de z em relação a x.
Então, vamos lá:
partialpartial x(x^2) + partialpartial x(2 y^2) + partialpartial x(2 z^2) + partialpartial x(4 x y z) = partialpartial x(3)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada:
  1. partialpartial x(x^2) = 2x
  2. partialpartial x(2 y^2) = 0
    (Porque y é tratado como constante em relação a x)
  3. partialpartial x(2 z^2) = 4 z cdot partial zpartial x
    (Usamos a regra da cadeia aqui)
  4. partialpartial x(4 x y z) = 4 y z + 4 x y cdot partial zpartial x
    (Primeiro derivamos x e depois z, aplicando a regra do produto)
E do outro lado da equação:
partialpartial x(3) = 0

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:
2x + 0 + 4 z cdot partial zpartial x + 4 y z + 4 x y cdot partial zpartial x = 0
Podemos simplificar isso:
2x + 4 y z + (4 z + 4 x y) cdot partial zpartial x = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar partial zpartial x:
(4 z + 4 x y) cdot partial zpartial x = - (2x + 4 y z)
Dividindo ambos os lados por (4 z + 4 x y):
partial zpartial x = - 2x + 4 y z4 z + 4 x y
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
partial zpartial x = - x + 2 y z2 z + 2 x y

Passo 6

Agora, vamos repetir o mesmo processo para encontrar partial zpartial y. Diferenciando a equação original em relação a y:
partialpartial y(x^2) + partialpartial y(2 y^2) + partialpartial y(2 z^2) + partialpartial y(4 x y z) = partialpartial y(3)
Calculando cada termo:
  1. partialpartial y(x^2) = 0
  2. partialpartial y(2 y^2) = 4 y
  3. partialpartial y(2 z^2) = 4 z cdot partial zpartial y
  4. partialpartial y(4 x y z) = 4 x z + 4 x y cdot partial zpartial y
E do outro lado:
partialpartial y(3) = 0

Passo 7

Juntando tudo:
0 + 4 y + 4 z cdot partial zpartial y + 4 x z + 4 x y cdot partial zpartial y = 0
Simplificando:
4 y + 4 x z + (4 z + 4 x y) cdot partial zpartial y = 0

Passo 8

Isolando partial zpartial y:
(4 z + 4 x y) cdot partial zpartial y = - (4 y + 4 x z)
Dividindo ambos os lados por (4 z + 4 x y):
partial zpartial y = - 4 y + 4 x z4 z + 4 x y
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
partial zpartial y = - y + x zz + x y

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = - x + 2 y z2 z + 2 x y
e
partial zpartial y = - y + x zz + x y

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