A função diferenciável
é dada implicitamente pela equa¢̧ão
Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que está definida pela equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é super útil quando
está relacionada com
e
de forma indireta, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, vamos diferenciar toda a equação em relação a
. Lembre-se que quando diferenciamos uma função implícita, aplicamos a regra da cadeia. Isso significa que, ao derivar termos que envolvem
, a gente também precisa multiplicar pela derivada de
em relação a
.
Então, vamos lá:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada:
-
-
(Porqueé tratado como constante em relação a ) -
(Usamos a regra da cadeia aqui) -
(Primeiro derivamose depois , aplicando a regra do produto)
E do outro lado da equação:
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos:
Podemos simplificar isso:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 6
Agora, vamos repetir o mesmo processo para encontrar
. Diferenciando a equação original em relação a
:
Calculando cada termo:
E do outro lado:
Passo 7
Juntando tudo:
Simplificando:
Passo 8
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
Resposta
As derivadas parciais são:
e