Considere f(x)=raiz4-x^2-y^2.
Desenhe as curvas de nível de f (ao menos 3 curvas distintas).

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da função f(x,y)=raiz4 - x^2 - y^2. Esse é um exercício de cálculo multivariável: curvas de nível são os conjuntos de pontos (x,y) onde a função assume um mesmo valor constante. Para resolver, vamos usar a definição de curva de nível e manipular a equação de f.

Passo 2

A curva de nível correspondente a um valor k é o conjunto
raiz4 - x^2 - y^2 = k

Passo 3

Elevando ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos
4 - x^2 - y^2 = k^2
ou seja
x^2 + y^2 = 4 - k^2

Passo 4

Para que a raiz exista, precisamos de
4 - k^2 >= 0e k>=0,
isto é,
0 <= k <= 2

Passo 5

Escolhendo três valores distintos de k, por exemplo k=0, k=1 e k=2, obtemos círculos concêntricos no plano xy:
para k=0, da equação
x^2 + y^2 = 4,
o raio é raiz4=2;
para k=1, da equação
x^2 + y^2 = 3,
o raio é raiz3;
para k=2, da equação
x^2 + y^2 = 0,
resta apenas o ponto na origem (raio 0).

Resposta

As três curvas de nível escolhidas são
x^2 + y^2 = 4,
x^2 + y^2 = 3,
x^2 + y^2 = 0,
ou seja, círculos concêntricos de raios 2, raiz3 e 0.

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