Considere f(x)=raiz4-x^2-y^2.
Determine o domínio e a imagem de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=raiz4 - x^2 - y^2
e pede o domínio (todos os (x,y) em que a raiz existe) e a imagem (todos os valores que f assume). Vamos usar a condição de existência da raiz e analisar os valores extremos.

Passo 2

Para que a raiz quadrada exista em R, o radicando deve ser não negativo:
4 - x^2 - y^2 >= 0
Isolando,
x^2 + y^2 <= 4
Logo o domínio é o disco fechado de raio 2 em R^2:
D = l(x,y)in R^2mid x^2 + y^2 <= 4r

Passo 3

Dentro de D, o valor de 4 - x^2 - y^2 varia de 0 (na fronteira x^2+y^2=4) até 4 (no centro (0,0)). Como f(x,y)=raiz,cdot,, segue que
0 <= f(x,y) <= raiz4=2
Portanto a imagem de f é o intervalo fechado [0,2].

Resposta

Domínio: (x,y)in R^2mid x^2+y^2<=4
Imagem: [0,2]

Exercícios relacionados