C9. Em cada item, use a regra da cadeia para calcular partial f / partial u e partial f / partial v (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de u e v ).
(a) f(x, y)=ln (3 x+2 y), x(u, v)=u sen v, y(u, v)=v cos u.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=lnl(3x+2yr),
com as parametrizações
x(u,v)=usin v, y(u,v)=vcos u
Precisamos usar a regra da cadeia para encontrar partial f/partial u e partial f/partial v, deixando a resposta em termos de x,y,u,v (não é preciso reescrever tudo só em u,v).

Passo 2

A regra da cadeia para derivadas parciais diz que
partial fpartial u = fx,partial xpartial u +fy,partial ypartial u, partial fpartial v = fx,partial xpartial v +fy,partial ypartial v,
onde fx=partial f/partial x e fy=partial f/partial y.

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas parciais de f em relação a x e a y. Como
f(x,y)=lnl(3x+2yr),
temos
fx=33x+2y, fy=23x+2y

Passo 4

Agora as derivadas das parametrizações:
partial xpartial u =partialpartial ul(usin vr) =sin v, partial xpartial v =partialpartial vl(usin vr) =ucos v,
partial ypartial u =partialpartial ul(vcos ur) =-vsin u, partial ypartial v =partialpartial vl(vcos ur) =cos u

Passo 5

Substituindo na regra da cadeia:
partial fpartial u =33x+2y,sin v +23x+2y,(-vsin u) =3sin v-2vsin u3x+2y,
partial fpartial v =33x+2y,l(ucos vr) +23x+2y,cos u =3ucos v+2cos u3x+2y

Resposta

partial fpartial u =3sin v-2vsin u3x+2y, partial fpartial v =3ucos v+2cos u3x+2y

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