(Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que a x^2+b(x+1)^2+c(x+2)^2=(x+3)^2 para todo x real, então o valor de a - b + c é

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os reais a, b e c que satisfazem a identidade polinomial a x^2 + b(x+1)^2 + c(x+2)^2 = (x+3)^2 para todo x. O conteúdo aqui é comparar polinômios iguais por meio do método de coeficientes.

Passo 2

Vamos expandir o lado esquerdo. Primeiro, note que
a x^2 + b(x+1)^2 + c(x+2)^2 = a x^2 + b(x^2 + 2x + 1) + c(x^2 + 4x + 4)

Passo 3

Distribuindo b e c, obtemos
a x^2 + b x^2 + 2b x + b + c x^2 + 4c x + 4c = (a + b + c)x^2 + (2b + 4c)x + (b + 4c)

Passo 4

O lado direito já é
(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

Passo 5

Como os polinômios são iguais para todo x, igualamos coeficientes de cada grau:
$$\begin{cases}a + b + c = 1,\2b + 4c = 6,\b + 4c = 9.
\end{cases}$$

Passo 6

Da segunda equação temos 2b + 4c = 6 ou b + 2c = 3. Da terceira, b + 4c = 9. Subtraindo essas duas equações:
(b + 4c) - (b + 2c) = 9 - 3
2c = 6 implies c = 3

Passo 7

Substituindo c = 3 em b + 2c = 3:
b + 2cdot3 = 3 implies b = -3

Passo 8

Agora, usando a + b + c = 1:
a + (-3) + 3 = 1 implies a = 1

Passo 9

Finalmente, calculamos
a - b + c = 1 - (-3) + 3 = 7

Resposta

7

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