As cabeças borrifadoras (sprinklers) de um sistema de irrigação agrícola devem ser supridas com água proveniente de uma bomba acionada por motor de combustão interna, através de 152,4 m de tubos de alumínio trefilado. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a descarga da bomba é
a uma pressão não superior a
(manométrica). Para operação satisfatória, os borrifadores devem operar a
(manométrica) ou mais. Perdas menores e variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o menor diâmetro de tubo-padrão que pode ser empregado.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o menor diâmetro de tubo-padrão que pode ser empregado de modo que, ao longo de
de tubulação, a perda de carga por atrito não reduza a pressão de saída abaixo de
(manométrica), sabendo que a bomba fornece até
(manométrica) com vazão
. Perdas menores e variações de elevação são desprezadas. \n\nInformações relevantes fornecidas (vou listá-las exatamente):\n-
.\n-
.\n-
(pressão na entrada, manométrica — pressão disponível da bomba).\n-
(pressão mínima requerida nos borrifadores, manométrica).\n- Desprezam-se variações de elevação e perdas menores (somente perda por atrito ao longo do comprimento interessa).\n\nO que se pede: o menor diâmetro de tubo-padrão (ou seja, o menor diâmetro comercialmente disponível maior ou igual ao mínimo calculado) que satisfaça essa condição.
Passo 2
Vamos traduzir as pressões em termos de “carga” de água (head) disponível para perder por atrito. A diferença máxima de pressão que pode ser gasta com perdas é
Converter pressão para carga (altura de coluna de água) pela relação
. Usarei água à temperatura ambiente com densidade
e
. Então a carga máxima disponível para perdas é
Esse
é o limite superior para a perda de carga por atrito
ao longo do tubo.
Passo 3
Agora a fórmula para perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach):
onde:
-
é a perda de carga (m); -
é o fator de atrito adimensional (dependente de Reynolds e rugosidade relativa); -
é o comprimento do tubo (m); -
é o diâmetro interno do tubo (m); -
é a velocidade média do fluido no tubo (m/s); -
é a aceleração da gravidade (m/s^2).\n\nA velocidade média relaciona-se com a vazão pelo diâmetro:
Passo 4
Para o fator de atrito
usaremos a fórmula explícita de Swamee–Jain (útil em cálculo direto, é uma aproximação explícita da equação de Colebrook):
onde:
-
é a rugosidade absoluta da parede do tubo (m); -
é o número de Reynolds (adimensional); -
é a viscosidade cinemática da água (m^2/s).\n\nObservações e suposições práticas que uso aqui (elas devem ser explicitadas):\n- tomo (aproximação para água a ≈20 °C);\n- tomo rugosidade típica para alumínio trefilado (superfície bem lisa) como . (Essa é uma suposição razoável para tubulação metálica lisa; se você tiver outro valor de trocamos e reavaliamos.)\n\nCom essas expressões temos um problema implícito em : calculada deve ser menor ou igual a . Vamos calcular numericamente e depois encontrar o menor que satisfaz .
Passo 5
Calculemos a carga disponível para perdas
. Usando
:
Portanto não podemos ter
maior que
.
Passo 6
Vamos organizar as expressões usadas numericamente. Para um dado
(em metros):
A condição de projeto é
. Vou testar valores de
e iterar para encontrar o menor que satisfaça essa condição. (No exame você pode fazer poucas iterações com uma calculadora científica.)
Passo 7
Avaliação numérica — primeiro valores de referência para entender a sensibilidade.\n\nUsarei números-chave:
,
,
,
,
.\n\nTeste rápido
:\n-
\n-
\n- Aplicando Swamee–Jain obtém-se
.\n-
.\n-
.\n\nConclusão: para
a perda de carga é muito maior que
— diâmetro insuficiente.
Passo 8
Teste
:\n-
\n-
\n- Swamee–Jain dá
(cálculo mostrado na iteração).\n-
\n-
\n\nConclusão:
produz
, que está abaixo de
— portanto
é aceitável.
Passo 9
Teste intermediário para encontrar o diâmetro teórico mínimo contínuo (não-padrão). Vou procurar o
para o qual
. Faço iterações rápidas entre
e
:\n- Para
calculei
(maior que permitido).\n- Para
encontrei
(abaixo do limite).\n- Refinando (valores calculados): para
obtive
, praticamente no limite.\n\nPortanto o diâmetro teórico mínimo contínuo para que
está em torno de
Passo 10
Conclusão prática: tubos disponíveis vêm em diâmetros padrão comerciais. Entre os diâmetros padrão maiores ou iguais a
o menor comum é
(ou seja,
). Como
fornece
, a pressão na saída permanecerá acima de
e os borrifadores operarão satisfatoriamente. \n\nComentário amigo: eu usei
e
. Se a rugosidade real do tubo for maior, o
requerido pode aumentar; se tiver esse dado exato para o tubo que você vai usar, podemos recalcular rápido.