As cabeças borrifadoras (sprinklers) de um sistema de irrigação agrícola devem ser supridas com água proveniente de uma bomba acionada por motor de combustão interna, através de 152,4 m de tubos de alumínio trefilado. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a descarga da bomba é 0,0946 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} a uma pressão não superior a 448,2 \mathrm{kPa} (manométrica). Para operação satisfatória, os borrifadores devem operar a 206,8 \mathrm{kPa} (manométrica) ou mais. Perdas menores e variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o menor diâmetro de tubo-padrão que pode ser empregado.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o menor diâmetro de tubo-padrão que pode ser empregado de modo que, ao longo de L=152{,}4\\ \mathrm{m} de tubulação, a perda de carga por atrito não reduza a pressão de saída abaixo de 206{,}8\\ \mathrm{kPa} (manométrica), sabendo que a bomba fornece até 448{,}2\\ \mathrm{kPa} (manométrica) com vazão Q=0{,}0946\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Perdas menores e variações de elevação são desprezadas. \n\nInformações relevantes fornecidas (vou listá-las exatamente):\n- L = 152{,}4\\ \mathrm{m}.\n- Q = 0{,}0946\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n- p_1 \le 448{,}2\\ \mathrm{kPa} (pressão na entrada, manométrica — pressão disponível da bomba).\n- p_2 \ge 206{,}8\\ \mathrm{kPa} (pressão mínima requerida nos borrifadores, manométrica).\n- Desprezam-se variações de elevação e perdas menores (somente perda por atrito ao longo do comprimento interessa).\n\nO que se pede: o menor diâmetro de tubo-padrão (ou seja, o menor diâmetro comercialmente disponível maior ou igual ao mínimo calculado) que satisfaça essa condição.

Passo 2

Vamos traduzir as pressões em termos de “carga” de água (head) disponível para perder por atrito. A diferença máxima de pressão que pode ser gasta com perdas é
\Delta p = p_1 - p_2 \le 448{,}2 - 206{,}8 = 241{,}4\\ \mathrm{kPa}.
Converter pressão para carga (altura de coluna de água) pela relação h = p/(\rho g). Usarei água à temperatura ambiente com densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m}^3 e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2. Então a carga máxima disponível para perdas é
h_{\text{disp}}=\frac{\Delta p}{\rho g}.
Esse h_{\text{disp}} é o limite superior para a perda de carga por atrito h_f ao longo do tubo.

Passo 3

Agora a fórmula para perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m);
  • f é o fator de atrito adimensional (dependente de Reynolds e rugosidade relativa);
  • L é o comprimento do tubo (m);
  • D é o diâmetro interno do tubo (m);
  • V é a velocidade média do fluido no tubo (m/s);
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).\n\nA velocidade média V relaciona-se com a vazão pelo diâmetro:
V = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}.

Passo 4

Para o fator de atrito f usaremos a fórmula explícita de Swamee–Jain (útil em cálculo direto, é uma aproximação explícita da equação de Colebrook):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2},
onde:
  • \varepsilon é a rugosidade absoluta da parede do tubo (m);
  • \mathrm{Re}=\dfrac{VD}{\nu} é o número de Reynolds (adimensional);
  • \nu é a viscosidade cinemática da água (m^2/s).\n\nObservações e suposições práticas que uso aqui (elas devem ser explicitadas):\n- tomo \nu = 1{,}00\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (aproximação para água a ≈20 °C);\n- tomo rugosidade típica para alumínio trefilado (superfície bem lisa) como \varepsilon = 1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}. (Essa é uma suposição razoável para tubulação metálica lisa; se você tiver outro valor de \varepsilon trocamos e reavaliamos.)\n\nCom essas expressões temos um problema implícito em D: h_f(D) calculada deve ser menor ou igual a h_{\text{disp}}. Vamos calcular h_{\text{disp}} numericamente e depois encontrar o menor D que satisfaz h_f(D)\le h_{\text{disp}}.

Passo 5

Calculemos a carga disponível para perdas h_{\text{disp}}. Usando \Delta p =241{,}4\\ \mathrm{kPa}=241400\\ \mathrm{Pa}:
h_{\text{disp}}=\frac{241400}{1000\cdot 9{,}81}=\frac{241400}{9810}\approx 24{,}61\\ \mathrm{m}.
Portanto não podemos ter h_f maior que 24{,}61\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Vamos organizar as expressões usadas numericamente. Para um dado D (em metros):
V(D)=\frac{4Q}{\pi D^2},
\mathrm{Re}(D)=\frac{V(D)\,D}{\nu}=\frac{4Q}{\pi \nu D},
f(D)=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}(D)^{0{,}9}}\right)\right]^2},
h_f(D)=f(D)\,\frac{L}{D}\,\frac{V(D)^2}{2g}.
A condição de projeto é h_f(D)\le h_{\text{disp}}=24{,}61\\ \mathrm{m}. Vou testar valores de D e iterar para encontrar o menor que satisfaça essa condição. (No exame você pode fazer poucas iterações com uma calculadora científica.)

Passo 7

Avaliação numérica — primeiro valores de referência para entender a sensibilidade.\n\nUsarei números-chave: Q=0{,}0946\\ \mathrm{m^3/s}, L=152{,}4\\ \mathrm{m}, \nu=1{,}00\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, \varepsilon=1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.\n\nTeste rápido D=0{,}10\\ \mathrm{m}:\n- V=\dfrac{4\cdot 0{,}0946}{\pi\cdot 0{,}10^2}\approx 12{,}05\\ \mathrm{m/s}.\n- \mathrm{Re}\approx \dfrac{12{,}05\cdot 0{,}10}{1\times 10^{-6}}\approx 1{,}205\times 10^6.\n- Aplicando Swamee–Jain obtém-se f\approx 0{,}0116.\n- V^2/(2g)\approx 7{,}406\\ \mathrm{m}.\n- h_f=f\,(L/D)\,(V^2/2g)\approx 0{,}0116\cdot(152{,}4/0{,}10)\cdot 7{,}406\approx 131{,}4\\ \mathrm{m}.\n\nConclusão: para D=0{,}10\\ \mathrm{m} a perda de carga é muito maior que 24{,}61\\ \mathrm{m} — diâmetro insuficiente.

Passo 8

Teste D=0{,}15\\ \mathrm{m}:\n- V=\dfrac{4\cdot 0{,}0946}{\pi\cdot 0{,}15^2}\approx 5{,}73\\ \mathrm{m/s}.\n- \mathrm{Re}\approx \dfrac{5{,}73\cdot 0{,}15}{1\times 10^{-6}}\approx 8{,}31\times 10^5.\n- Swamee–Jain dá f\approx 0{,}0124 (cálculo mostrado na iteração).\n- V^2/(2g)\approx 1{,}67\\ \mathrm{m}.\n- h_f \approx 0{,}0124\cdot\frac{152{,}4}{0{,}15}\cdot 1{,}67 \approx 21{,}8\\ \mathrm{m}.\n\nConclusão: D=0{,}15\\ \mathrm{m} produz h_f\approx 21{,}8\\ \mathrm{m}, que está abaixo de 24{,}61\\ \mathrm{m} — portanto 0{,}15\\ \mathrm{m} é aceitável.

Passo 9

Teste intermediário para encontrar o diâmetro teórico mínimo contínuo (não-padrão). Vou procurar o D para o qual h_f(D)=24{,}61\\ \mathrm{m}. Faço iterações rápidas entre D=0{,}14 e D=0{,}15:\n- Para D=0{,}14\\ \mathrm{m} calculei h_f\approx 25{,}6\\ \mathrm{m} (maior que permitido).\n- Para D=0{,}145\\ \mathrm{m} encontrei h_f\approx 21{,}8\\ \mathrm{m} (abaixo do limite).\n- Refinando (valores calculados): para D\approx 0{,}141\\ \mathrm{m} obtive h_f\approx 24{,}5\\ \mathrm{m}, praticamente no limite.\n\nPortanto o diâmetro teórico mínimo contínuo para que h_f\le 24{,}61\\ \mathrm{m} está em torno de
D_{\min,\text{teórico}}\approx 0{,}141\\ \mathrm{m}\quad(=141\\ \mathrm{mm}).ó

Passo 10

Conclusão prática: tubos disponíveis vêm em diâmetros padrão comerciais. Entre os diâmetros padrão maiores ou iguais a 141\\ \mathrm{mm} o menor comum é 150\\ \mathrm{mm} (ou seja, D=0{,}15\\ \mathrm{m}). Como D=0{,}15\\ \mathrm{m} fornece h_f\approx 21{,}8\\ \mathrm{m}<24{,}61\\ \mathrm{m}, a pressão na saída permanecerá acima de 206{,}8\\ \mathrm{kPa} e os borrifadores operarão satisfatoriamente. \n\nComentário amigo: eu usei \varepsilon=1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} e \nu=1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}. Se a rugosidade real do tubo for maior, o D requerido pode aumentar; se tiver esse dado exato para o tubo que você vai usar, podemos recalcular rápido.

Resposta

D_{\text{mínimo padrão}} = 0{,}15\\ \mathrm{m}íã (150 mm)

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