(PORTO, 2006, adaptado de 10.4) Um canal trapezoidal, com altura d’água de 1,05 metro deve transportar, em regime uniforme,
de água sobre uma distância de 5 km . Os taludes têm inclinação 2 H : 1 V e a diferença total de nível d’água nos 5 km é de 8,5 metros. Qual deve ser a largura de fundo do canal para que este escoamento se faça à velocidade crítica? Qual o coeficiente de rugosidade de Manning correspondente e quais os materiais dos quais o canal poderia ser feito? Qual o tipo de escoamento?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as coisas abaixo:
- Vazão:
. - Altura (profundidade) d’água prescrita:
. - Taludes:
, isto é, coeficiente lateral (horizontal/vertical). - Comprimento do canal:
. - Queda total nos
: . Daí a declividade do leito é - Objetivos pedidos:
- Determinar a largura de fundo do canal
para que o escoamento ocorra à velocidade crítica (isto é, a profundidade crítica coincida com ). - Calcular o coeficiente de rugosidade de Manning
correspondente. - Indicar materiais plausíveis para o canal (que tenham rugosidade compatível com
). - Indicar o tipo de escoamento (subcrítico / supercrítico / crítico).
- Determinar a largura de fundo do canal
Passo 2
Princípio físico que usamos: condição de escoamento crítico em canal aberto. Vou explicar devagar e mostrar a fórmula que usamos.
-
O “energia específica” por unidade de peso éonde:
-
é a profundidade, -
é a vazão, -
é a área da seção molhada, -
é a aceleração da gravidade ( ).
-
-
A condição de profundidade crítica é o ponto em que a energia específica
tem mínimo em relação a variações da área com a profundidade, ou seja, . Vamos derivar: Igualando a zero: -
Isolando
obtemos a forma prática usada aqui: Essa equação relaciona, , e na condição crítica. Note que ela não depende de nem de ; só da geometria e de e .
Passo 3
Agora escrevemos
e
para o canal trapezoidal:
-
Para taludes com coeficiente lateral
(horizontal por vertical), num trapezoide simétrico: -
Largura de fundo:
(incógnita). -
Profundidade:
. -
Área da seção molhada:(Explicação curta: um retângulo de base
e altura mais duas meias-triângulos que juntos somam .) -
Derivada da área em relação à profundidade:
-
-
Substituímos
e :
- Agora vamos pôr tudo na equação crítica
com e . Substituindo: Essa é uma equação não-linear em que vamos resolver numericamente.
Passo 4
Resolver numericamente para
. Faço um procedimento direto de tentativa e ajuste (método de aproximação), mostrando as contas:
-
Calcule
: -
Defino a função (esquerda - direita):
-
Tentativas (mostro alguns valores para você entender como encontrei a raiz):
-
. -
.
Logo a solução está entree .
-
-
Refinando:
-
. -
. - Entre
e vemos convergência. Avaliando em obtém-se, após calcular, e a igualdade da equação crítica fica satisfeita (diferença praticamente nula).
-
-
Resultado (arredondando convenientemente):
(Comentário motivador: deu um número razoável — não é um palpite, é o valor que faz a profundidade dada ser crítica para a vazão pedida.)
Passo 5
Com
encontrado, calculamos as grandezas hidráulicas necessárias para depois achar
e verificar o tipo de escoamento.
-
Área da seção:
-
Largura superior (calha à superfície livre):
-
Perímetro molhado:
-
Raio hidráulico:
-
Velocidade média:
Passo 6
Calcular o coeficiente de rugosidade de Manning
usando a equação de Manning para escoamento uniforme (vamos usar
conhecido; mesmo que pedimos a condição crítica, para obter
usamos a fórmula de Manning que relaciona
,
,
e
):
-
Equação de Manning (forma prática para
): Isolando: -
Substituindo valores numéricos:
- Arredondando:
Explicação didática curta sobre
:
é um coeficiente empírico que mede a rugosidade da superfície do canal; quanto menor
, mais lisa é a superfície e maior é a vazão para mesma área/declividade.
- Materiais compatíveis com
: - Concreto bastante liso ou canal revestido com concreto projetado (valores típicos
a ). - Revestimento em asfalto ou laminação plástica muito lisa (vals.
próximos de – ). - Alvenaria ou pedra muito bem assentada e lisa (por volta de
– ). - Não seria um canal em terra natural (terra batida) porque esses têm
tipicamente – , muito maiores.
- Concreto bastante liso ou canal revestido com concreto projetado (valores típicos
Portanto, materiais plausíveis: concreto acabado liso, alvenaria rebocada/assentada muito lisa, asfalto de revestimento, ou revestimentos sintéticos lisos.
Passo 7
Tipo de escoamento — calculo do número de Froude para confirmar:
-
Froude definido poronde
é a profundidade hidráulica (razão entre área e largura de superfície), isto é -
Calculando:
- Interpretação:
indica escoamento crítico. Portanto, o tipo é crítico — isto é exatamente o que se pediu: projetar para que a profundidade dada seja a profundidade crítica. Fluxo crítico fica entre o regime subcrítico (Fr<1, “lento/tranquilo”) e supercrítico (Fr>1, “rápido/energético”).
Observação prática: projetar para escoamento criticamente uniforme exige cuidado, pois escoamento crítico é instável/ transição; mas aqui a pergunta foi apenas identificar condições e correspondente
e
.
Resposta
Materiais possíveis: concreto liso (revestido), alvenaria muito bem assentada/revestida, revestimento asfáltico ou sintético liso (valores típicos de
Tipo de escoamento: crítico (