(PORTO, 2006, adaptado de 10.4) Um canal trapezoidal, com altura d’água de 1,05 metro deve transportar, em regime uniforme, 16,7 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água sobre uma distância de 5 km . Os taludes têm inclinação 2 H : 1 V e a diferença total de nível d’água nos 5 km é de 8,5 metros. Qual deve ser a largura de fundo do canal para que este escoamento se faça à velocidade crítica? Qual o coeficiente de rugosidade de Manning correspondente e quais os materiais dos quais o canal poderia ser feito? Qual o tipo de escoamento?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as coisas abaixo:
  • Vazão: Q=16,7\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Altura (profundidade) d’água prescrita: y=1,05\\ \mathrm{m}.
  • Taludes: 2\\ \mathrm{H}:1\\ \mathrm{V}, isto é, coeficiente lateral m=2 (horizontal/vertical).
  • Comprimento do canal: L=5000\\ \mathrm{m}.
  • Queda total nos 5\\ \mathrm{km}: \Delta h=8,5\\ \mathrm{m}. Daí a declividade do leito é S=\frac{\Delta h}{L}=\frac{8,5}{5000}=0,0017.
  • Objetivos pedidos:
    1. Determinar a largura de fundo do canal b para que o escoamento ocorra à velocidade crítica (isto é, a profundidade crítica coincida com y=1,05\\ \mathrm{m}).
    2. Calcular o coeficiente de rugosidade de Manning n correspondente.
    3. Indicar materiais plausíveis para o canal (que tenham rugosidade compatível com n).
    4. Indicar o tipo de escoamento (subcrítico / supercrítico / crítico).

Passo 2

Princípio físico que usamos: condição de escoamento crítico em canal aberto. Vou explicar devagar e mostrar a fórmula que usamos.
  • O “energia específica” por unidade de peso é
    E = y + \frac{Q^{2}}{2gA^{2}},
    onde:
    • y é a profundidade,
    • Q é a vazão,
    • A é a área da seção molhada,
    • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • A condição de profundidade crítica é o ponto em que a energia específica E tem mínimo em relação a variações da área com a profundidade, ou seja, \dfrac{dE}{dy}=0. Vamos derivar:
    \frac{dE}{dy}=1+\frac{d}{dy}\left(\frac{Q^{2}}{2gA^{2}}\right) =1-\frac{Q^{2}}{gA^{3}}\frac{dA}{dy}.
    Igualando a zero:
    1-\frac{Q^{2}}{gA^{3}}\frac{dA}{dy}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q^{2}}{gA^{3}}\frac{dA}{dy}=1.
  • Isolando Q^{2} obtemos a forma prática usada aqui:
    \boxed{Q^{2}=\frac{gA^{3}}{\dfrac{dA}{dy}}.}
    Essa equação relaciona Q, A, e \dfrac{dA}{dy} na condição crítica. Note que ela não depende de n nem de S; só da geometria e de Q e y.

Passo 3

Agora escrevemos A e \dfrac{dA}{dy} para o canal trapezoidal:
  • Para taludes com coeficiente lateral m (horizontal por vertical), num trapezoide simétrico:
    • Largura de fundo: b (incógnita).
    • Profundidade: y.
    • Área da seção molhada:
      A = b\,y + m\,y^{2}.
      (Explicação curta: um retângulo de base b e altura y mais duas meias-triângulos que juntos somam m y^{2}.)
    • Derivada da área em relação à profundidade:
      \frac{dA}{dy}=b + 2m y.
  • Substituímos m=2 e y=1,05\\ \mathrm{m}:
    A = 1,05\,b + 2\cdot(1,05)^{2}=1,05\,b + 2{,}205,
\frac{dA}{dy}=b + 2\cdot 2\cdot 1,05 = b + 4{,}2.
  • Agora vamos pôr tudo na equação crítica Q^{2}=\frac{gA^{3}}{\dfrac{dA}{dy}},com Q=16,7\\ \mathrm{m^{3}/s} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Substituindo: (16{,}7)^{2}=9{,}81\\ \frac{(1{,}05\,b + 2{,}205)^{3}}{b+4{,}2}.Essa é uma equação não-linear em b que vamos resolver numericamente.

Passo 4

Resolver numericamente para b. Faço um procedimento direto de tentativa e ajuste (método de aproximação), mostrando as contas:
  • Calcule Q^{2}:
    Q^{2}=(16{,}7)^{2}=278{,}89.
  • Defino a função (esquerda - direita):
    f(b)=9{,}81\frac{(1{,}05\,b + 2{,}205)^{3}}{b+4{,}2}-278{,}89.
  • Tentativas (mostro alguns valores para você entender como encontrei a raiz):
    • b=2{,}0\\ \mathrm{m}\Rightarrow f(2)\approx 126{,}4-278{,}9<0.
    • b=4{,}0\\ \mathrm{m}\Rightarrow f(4)\approx 314{,}5-278{,}9>0.
      Logo a solução está entre 2 e 4\\ \mathrm{m}.
  • Refinando:
    • b=3{,}5\\ \mathrm{m}\Rightarrow f(3{,}5)\approx 259{,}2-278{,}9<0.
    • b=3{,}7\\ \mathrm{m}\Rightarrow f(3{,}7)\approx 280{,}5-278{,}9>0.
    • Entre 3{,}68 e 3{,}69 vemos convergência. Avaliando em b=3{,}683\\ \mathrm{m} obtém-se, após calcular, A\approx 6{,}07215\\ \mathrm{m^{2}},\qquad \frac{dA}{dy}\approx 7{,}883,e a igualdade da equação crítica fica satisfeita (diferença praticamente nula).
  • Resultado (arredondando convenientemente):
    \boxed{b\approx 3{,}68\\ \mathrm{m}.}
(Comentário motivador: deu um número razoável — não é um palpite, é o valor que faz a profundidade dada ser crítica para a vazão pedida.)

Passo 5

Com b encontrado, calculamos as grandezas hidráulicas necessárias para depois achar n e verificar o tipo de escoamento.
  • Área da seção:
    A=b\,y + m y^{2}=3{,}683\cdot 1{,}05 + 2\cdot(1{,}05)^{2}\approx 6{,}072\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Largura superior (calha à superfície livre):
    T = b + 2 m y = b + 4{,}2 \approx 3{,}683 + 4{,}2=7{,}883\\ \mathrm{m}.
  • Perímetro molhado:
    P = b + 2y\sqrt{1+m^{2}} = b + 2\cdot1{,}05\sqrt{1+2^{2}} = b + 2{,}1\sqrt{5}\approx 3{,}683 + 4{,}696\approx 8{,}379\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
    R=\frac{A}{P}\approx \frac{6{,}072}{8{,}379}\approx 0{,}7249\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média:
    V=\frac{Q}{A}=\frac{16{,}7}{6{,}072}\approx 2{,}75\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular o coeficiente de rugosidade de Manning n usando a equação de Manning para escoamento uniforme (vamos usar S conhecido; mesmo que pedimos a condição crítica, para obter n usamos a fórmula de Manning que relaciona Q, A, R e S):
  • Equação de Manning (forma prática para Q):
    Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
    Isolando n:
    n=\frac{A\,R^{2/3}\,S^{1/2}}{Q}.
  • Substituindo valores numéricos:
    R^{2/3}\approx (0{,}7249)^{2/3}\approx 0{,}8068,
S^{1/2}=\sqrt{0{,}0017}\approx 0{,}041231,
A\,R^{2/3}\,S^{1/2}\approx 6{,}072\cdot 0{,}8068\cdot 0{,}041231\approx 0{,}2019,
n\approx \frac{0{,}2019}{16{,}7}\approx 0{,}01209.
  • Arredondando: \boxed{n\approx 0{,}0121.}
Explicação didática curta sobre n: n é um coeficiente empírico que mede a rugosidade da superfície do canal; quanto menor n, mais lisa é a superfície e maior é a vazão para mesma área/declividade.
  • Materiais compatíveis com n\approx 0{,}012:
    • Concreto bastante liso ou canal revestido com concreto projetado (valores típicos n\approx 0{,}011 a 0{,}014).
    • Revestimento em asfalto ou laminação plástica muito lisa (vals. n próximos de 0{,}010 0{,}012).
    • Alvenaria ou pedra muito bem assentada e lisa (por volta de 0{,}012 0{,}014).
    • Não seria um canal em terra natural (terra batida) porque esses têm n tipicamente 0{,}02 0{,}035, muito maiores.
Portanto, materiais plausíveis: concreto acabado liso, alvenaria rebocada/assentada muito lisa, asfalto de revestimento, ou revestimentos sintéticos lisos.

Passo 7

Tipo de escoamento — calculo do número de Froude para confirmar:
  • Froude definido por
    \mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gD}},
    onde D é a profundidade hidráulica (razão entre área e largura de superfície), isto é
    D=\frac{A}{T}.
  • Calculando:
    D=\frac{6{,}072}{7{,}883}\approx 0{,}7706\\ \mathrm{m},
\sqrt{gD}=\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}7706}\approx 2{,}7485\\ \mathrm{m/s},
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gD}}=\frac{2{,}75}{2{,}7485}\approx 1{,}0005\approx 1.
  • Interpretação: \mathrm{Fr}\approx 1 indica escoamento crítico. Portanto, o tipo é crítico — isto é exatamente o que se pediu: projetar para que a profundidade dada seja a profundidade crítica. Fluxo crítico fica entre o regime subcrítico (Fr<1, “lento/tranquilo”) e supercrítico (Fr>1, “rápido/energético”).
Observação prática: projetar para escoamento criticamente uniforme exige cuidado, pois escoamento crítico é instável/ transição; mas aqui a pergunta foi apenas identificar condições e correspondente b e n.

Resposta

b\approx 3{,}68\\ \mathrm{m}
n\approx 0{,}0121
Materiais possíveis: concreto liso (revestido), alvenaria muito bem assentada/revestida, revestimento asfáltico ou sintético liso (valores típicos de n compatíveis com 0{,}012); não recomendar terra natural (muito mais rugosa).
Tipo de escoamento: crítico ( \mathrm{Fr}\approx 1).

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