Um cabo de aço de 3,13 \mathrm{~cm} de diâmetro e 1500 cm de comprimento deve levantar uma carga de 18140 Kg . Qual é o comprimento do cabo durante a elevação? O modulo de elasticidade do aço e 207.10^{3} Mpa. (R: 1501,65 \mathrm{~cm} )

Passo 1

O enunciado dá um cabo de aço de diâmetro d=3,13\text{ cm} e comprimento inicial L_0=1500\text{ cm}. Esse cabo vai levantar uma carga de massa m=18140\text{ kg}. O módulo de elasticidade do aço é E=207\times10^{3}\text{ MPa}. Precisamos achar o novo comprimento L do cabo após a aplicação da carga, usando a lei de Hooke para deformação uniaxial.

Passo 2

Primeiro, convertemos unidades para o SI e calculamos a área da seção transversal. \displaystyle d=3,13\text{ cm}=0,0313\text{ m} \displaystyle L_0=1500\text{ cm}=15\text{ m}
A área é
A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi\,(0,0313)^2}{4} \approx7,696\times10^{-4}\text{ m}^2.

Passo 3

A força aplicada é o peso da carga, F=m\,g, com g=9,8\text{ m/s}^2:
F=18140\times9,8\approx1,7777\times10^{5}\text{ N}.

Passo 4

Pela lei de Hooke para deformação axial, o alongamento \Delta L é
\Delta L=\frac{F\,L_0}{A\,E}.
Convertendo E para Pascal: \displaystyle E=207\times10^{3}\text{ MPa}=207\times10^{9}\text{ Pa}.
Substituindo valores:
\Delta L =\frac{1,7777\times10^{5}\times15} {7,696\times10^{-4}\times207\times10^{9}} \approx0,01674\text{ m} =1,674\text{ cm}.

Passo 5

O comprimento final do cabo é
L=L_0+\Delta L =15\text{ m}+0,01674\text{ m} =15,01674\text{ m}
Convertendo para centímetros:
L=15,01674\text{ m}\times100 \approx1501,65\text{ cm}.

Resposta

O comprimento do cabo durante a elevação é aproximadamente 1501,65\text{ cm}.

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