Um cabo coaxial blindado de alta potência possui um isolador de polietileno \left(\varepsilon_{\mathrm{r}}=2,26\right) com rigidez dielétrica de E_{0}=18,1 \mathrm{MV} / \mathrm{m}. Calcule a sua capacitância e a maior diferença de potencial que pode ser aplicada, do condutor interno \rho_{1}=1 \mathrm{~cm} em relação à blindagem \rho_{2}=8 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá um cabo coaxial de comprimento arbitrário, com raio interno \rho_{1}=1\,\mathrm{cm} e raio externo \rho_{2}=8\,\mathrm{cm}, isolado por polietileno de constante dielétrica \varepsilon_{r}=2,26 e rigidez dielétrica E_{0}=18,1\,\mathrm{MV/m}. Precisamos (a) encontrar a capacitância por metro de cabo e (b) determinar a maior diferença de potencial que pode ser aplicada sem ultrapassar E_{0}.

Passo 2

Para um dielétrico homogêneo, a capacitância por unidade de comprimento de um cabo coaxial é dada por
C' \;=\;\frac{2\pi\,\varepsilon}{\ln(\rho_{2}/\rho_{1})}
onde \varepsilon=\varepsilon_{r}\,\varepsilon_{0} e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.

Passo 3

Substituindo \varepsilon=\varepsilon_{r}\,\varepsilon_{0} e \ln(\rho_{2}/\rho_{1})=\ln(0{,}08/0{,}01)=\ln(8)\approx2{,}0794, temos
C' = \frac{2\pi\,(2{,}26\cdot8{,}854\times10^{-12})}{2{,}0794} \approx 6,05\times10^{-11}\,\mathrm{F/m} = 60{,}5\,\mathrm{pF/m}.

Passo 4

O campo elétrico no dielétrico varia como
E(r)=\frac{V}{r\,\ln(\rho_{2}/\rho_{1})},
e atinge o máximo em r=\rho_{1}. Para não ultrapassar E_{0}, impõe-se
E(\rho_{1})=\frac{V_{\max}}{\rho_{1}\,\ln(\rho_{2}/\rho_{1})}\le E_{0} \;\Longrightarrow\; V_{\max}=E_{0}\,\rho_{1}\,\ln\!\bigl(\tfrac{\rho_{2}}{\rho_{1}}\bigr).

Passo 5

Numericamente, com \rho_{1}=0{,}01\,\mathrm{m}, E_{0}=18{,}1\times10^{6}\,\mathrm{V/m} e \ln(8)\approx2{,}0794,
V_{\max} =18{,}1\times10^{6}\times0{,}01\times2{,}0794 \approx3,76\times10^{5}\,\mathrm{V}.

Resposta

Capacitância por metro: C'=60{,}5\,\mathrm{pF/m}
Máxima diferença de potencial: V_{\max}\approx3,76\times10^{5}\,\mathrm{V}

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