Considere um capacitor de placas paralelas, cada qual com uma área A e separadas por uma distância d, carregado com uma carga q. Calcule:
(a) O potencial elétrico em um ponto na região interna ao capacitor. Onde você considerou o zero de seu potencial?
(b) A diferença de potencial entre as placas.
© A capacitância. Verifique que esta só depende de fatores geométricos.
(d) A energia armazenada no capacitor.
(e) Repita os itens anteriores para um capacitor cilindrico, isto é, formado por dois cilindros concêntricos de raios a e b, carregados com carga q.
(f) Esboce um gráfico do campo elétrico e do potencial elétrico no capacitor cilíndrico.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, primeiramente, para um capacitor de placas paralelas (área A, separação d, carga q): (a) o potencial no interior, (b) a diferença de potencial entre as placas, © a capacitância, (d) a energia armazenada. Depois repetir esses itens para um capacitor cilíndrico concêntrico (raios a e b). Vamos usar eletrostática básica: lei de Gauss para achar o campo e definição de potencial como integral do campo.

Passo 2

Para o capacitor de placas paralelas, aplicamos a lei de Gauss a um paralelepípedo entre as placas. A densidade de carga é σ=q/A e obtemos o campo uniforme
E=σε0=qε0A

Passo 3

O potencial elétrico em um ponto a uma distância x de uma placa (escolhendo V=0 na placa negativa, em x=0) é a integral negativa do campo:
V(x)=-integral0^x E,dx'= -Ex = -qε0Ax
Mas como escolhemos zero na placa negativa, invertendo o sinal, fica
V(x)=qε0Ax

Passo 4

A diferença de potencial entre as placas separadas por d é
ΔV=V(d)-V(0)=qε0Ad

Passo 5

A capacitância é definida por C=q/ΔV. Então
C=q(q/ε0A),d=ε0Ad,
mostrando dependência apenas geométrica.

Passo 6

A energia armazenada pode ser escrita como
U=12 C(ΔV)^2=12ε0Adl(qε0Adr)^2=q^22C

Passo 7

Para o capacitor cilíndrico, usamos lei de Gauss em um cilindro de comprimento L, raio r (a<r<b). A carga por comprimento é λ=q/L e
E(r)=λ2πε0r=q2πε0Lr

Passo 8

A diferença de potencial entre os cilindros de raios a e b é
ΔV= -integrala^b E(r),dr = -q2πε0Lintegrala^bdrr=q2πε0Llnba

Passo 9

A capacitância é
C=qΔV=2πε0Lln(b/a)
A energia armazenada é
U=12C(ΔV)^2=q^22C

Passo 10

O campo elétrico no capacitor cilíndrico decai como 1/r, ou seja, E®∝1/r. O potencial varia como ln®, ou seja, V®∝ln®.

Resposta

(a) V(x)=\frac{q}{ε_0A}x, escolhendo V=0 na placa negativa. (b) ΔV=\frac{q}{ε_0A}d. © C=\frac{ε_0A}{d}. (d) U=\frac12C(ΔV)2=\frac{q2}{2C}. (e) E®=\frac{q}{2πε_0Lr}, ΔV=\frac{q}{2πε_0L}\ln\frac{b}{a}, C=\frac{2πε_0L}{\ln(b/a)}, U=\frac{q^2}{2C}. (f) E®∝1/r decrescente; V®∝ln®.

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