Considere um capacitor de placas paralelas, cada qual com uma área
e separadas por uma distância
, carregado com uma carga
. Calcule:
(a) O potencial elétrico em um ponto na região interna ao capacitor. Onde você considerou o zero de seu potencial?
(b) A diferença de potencial entre as placas.
© A capacitância. Verifique que esta só depende de fatores geométricos.
(d) A energia armazenada no capacitor.
(e) Repita os itens anteriores para um capacitor cilindrico, isto é, formado por dois cilindros concêntricos de raios
e
, carregados com carga
.
(f) Esboce um gráfico do campo elétrico e do potencial elétrico no capacitor cilíndrico.
(a) O potencial elétrico em um ponto na região interna ao capacitor. Onde você considerou o zero de seu potencial?
(b) A diferença de potencial entre as placas.
© A capacitância. Verifique que esta só depende de fatores geométricos.
(d) A energia armazenada no capacitor.
(e) Repita os itens anteriores para um capacitor cilindrico, isto é, formado por dois cilindros concêntricos de raios
(f) Esboce um gráfico do campo elétrico e do potencial elétrico no capacitor cilíndrico.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, primeiramente, para um capacitor de placas paralelas (área A, separação d, carga q): (a) o potencial no interior, (b) a diferença de potencial entre as placas, © a capacitância, (d) a energia armazenada. Depois repetir esses itens para um capacitor cilíndrico concêntrico (raios a e b). Vamos usar eletrostática básica: lei de Gauss para achar o campo e definição de potencial como integral do campo.
Passo 2
Para o capacitor de placas paralelas, aplicamos a lei de Gauss a um paralelepípedo entre as placas. A densidade de carga é σ=q/A e obtemos o campo uniforme
Passo 3
O potencial elétrico em um ponto a uma distância x de uma placa (escolhendo V=0 na placa negativa, em x=0) é a integral negativa do campo:
Mas como escolhemos zero na placa negativa, invertendo o sinal, fica
Passo 4
A diferença de potencial entre as placas separadas por d é
Passo 5
A capacitância é definida por C=q/ΔV. Então
mostrando dependência apenas geométrica.
Passo 6
A energia armazenada pode ser escrita como
Passo 7
Para o capacitor cilíndrico, usamos lei de Gauss em um cilindro de comprimento L, raio r (a<r<b). A carga por comprimento é λ=q/L e
Passo 8
A diferença de potencial entre os cilindros de raios a e b é
Passo 9
A capacitância é
A energia armazenada é
Passo 10
O campo elétrico no capacitor cilíndrico decai como 1/r, ou seja, E®∝1/r. O potencial varia como ln®, ou seja, V®∝ln®.
Resposta
(a) V(x)=\frac{q}{ε_0A}x, escolhendo V=0 na placa negativa. (b) ΔV=\frac{q}{ε_0A}d. © C=\frac{ε_0A}{d}. (d) U=\frac12C(ΔV)2=\frac{q2}{2C}. (e) E®=\frac{q}{2πε_0Lr}, ΔV=\frac{q}{2πε_0L}\ln\frac{b}{a}, C=\frac{2πε_0L}{\ln(b/a)}, U=\frac{q^2}{2C}. (f) E®∝1/r decrescente; V®∝ln®.