Um cabo coaxial é formado por um fio central de raio R_{1} envolto a uma blindagem coaxial de raio R_{2}>R_{1}. Uma corrente circula pelo fio central e retorna pela blindagem. Determine o campo magnético em todo espaço.

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial com um condutor interno cilíndrico de raio R_{1} que carrega uma corrente I para frente e uma blindagem externa de raio R_{2}>R_{1} que retorna essa mesma corrente I. Queremos o campo magnético \mathbf{B}(r) em função da distância radial r ao eixo, em todas as regiões do espaço. Vamos usar a Lei de Ampère, que em simetria cilíndrica nos dá
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{enc}}(r)
onde I_{\text{enc}}(r) é a corrente total envolvida por um caminho circular de raio r.

Passo 2

Região r<R_{1} (dentro do condutor interno):
Como o condutor interno é sólido e supomos corrente uniformemente distribuída, a densidade de corrente é
J \;=\;\frac{I}{\pi R_{1}^{2}}.
Num círculo de raio r, a corrente envolvida é
I_{\text{enc}}(r) =\;J\cdot (\pi r^{2}) =\;I\,\frac{r^{2}}{R_{1}^{2}}.
Aplicando Ampère em um caminho circular de raio r:
B(r)\,(2\pi r) =\mu_{0}\,I\,\frac{r^{2}}{R_{1}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad B(r) =\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi}\,\frac{r}{R_{1}^{2}}.
O vetor \mathbf{B} fica tangencial ( \hat\varphi) apontando pela regra da mão direita.

Passo 3

Região R_{1}<r<R_{2} (entre condutor interno e blindagem):
Aqui o caminho de raio r envolve toda a corrente I do condutor interno e não “vê” ainda a corrente da blindagem externa. Logo
I_{\text{enc}}(r)=I
e
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\,I \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}.
Novamente \mathbf{B} é na direção \hat\varphi.

Passo 4

Região r>R_{2} (fora da blindagem):
O caminho de raio r envolve I para frente no fio interno e -I na blindagem, totalizando corrente líquida zero. Assim
I_{\text{enc}}(r)=I - I = 0
e pela Lei de Ampère
B(r)\,(2\pi r)=0 \quad\Longrightarrow\quad B(r)=0.

Resposta

Para síntese, o campo magnético é
\mathbf{B}(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi}\,\frac{r}{R_{1}^{2}}\;\hat{\varphi}, &0\le r< R_{1},\\[1em] \displaystyle \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}\;\hat{\varphi}, &R_{1}<r< R_{2},\\[1em] 0, & r>R_{2}. \end{cases}]

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