Calcule o campo magnético sobre o eixo de simetria de uma espira quadrada de área A transportando uma corrente I. Mostre que o campo a grandes distâncias da espira é dado pela mesma expressão fornecida na questão anterior.
Passo 1
O enunciado pede o campo magnético no eixo de uma espira quadrada de lado a (área A=a^2) percorrida por uma corrente I. O conteúdo que vamos usar é a Lei de Biot–Savart, que diz que em um ponto \vec r o campo é
onde d\vec\ell percorre toda a espira, e \vec r' é o ponto de d\vec\ell.
Passo 2
Vamos colocar a espira no plano xy, centrada na origem, com vértices em \bigl(\pm a/2,\pm a/2,0\bigr). O ponto de observação está no eixo z, em (0,0,z). Por simetria, apenas a componente B_z sobrevive e cada um dos quatro lados contribui com o mesmo valor de B_z. Logo
B_z = 4\;B_z^{\rm (um\;lado)}.
Passo 3
Focamos em um lado paralelo ao eixo x, situado em y=+a/2. Parametrizamos d\vec\ell = dx\,\hat\imath com x variando de -a/2 a +a/2. O vetor do elemento até o ponto é
\vec r-\vec r' = (0,0,z)-(x,a/2,0) = (-x)\,\hat\imath+(-a/2)\,\hat\jmath+z\,\hat k.
Então
d\vec\ell\times(\vec r-\vec r') = dx\,\hat\imath \times \bigl(-x\,\hat\imath -\tfrac{a}{2}\,\hat\jmath +z\,\hat k\bigr) = -\frac{a}{2}\,dx\;\hat k \;+\;\text{(componentes que somam zero ao juntar os lados)}.
Mas \sqrt{D^2+(a/2)^2}=\sqrt{z^2+(a/2)^2+(a/2)^2}=\sqrt{z^2+a^2/2}. No entanto note que D^2=(a/2)^2+z^2, logo \sqrt{D^2+(a/2)^2}=(D^2)^{1/2}\sqrt{1+(a/2)^2/D^2}=(D^2)^{1/2}\sqrt{1+(a/2)^2/D^2}. Mais simples é reconstituir diretamente: