Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante \delta que abranja a região dada.
A região limitada pela parábola y=25-x^{2} e pelo eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina de densidade constante \delta que ocupa a região limitada por
y = 25 - x^2
e pelo eixo x.
O conteúdo é cálculo de baricentro de uma região plana com densidade uniforme; as fórmulas são
\bar{x} = \frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA, \qquad \bar{y} = \frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA,
onde A é a área da região R.

Passo 2

Determinar os limites em x resolvendo 25 - x^2 = 0:
x^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x = -5,\;5.
Logo R vai de x=-5 a x=5 e de y=0 até y=25-x^2.

Passo 3

Calcular a área A de R:
A = \int_{x=-5}^{5} \bigl(25 - x^2\bigr)\,dx.
Em display:
A = \int_{-5}^{5} (25 - x^2)\,dx = \Bigl[25x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-5}^{5} = \bigl(125 - \tfrac{125}{3}\bigr) - \bigl(-125 + \tfrac{125}{3}\bigr) = \tfrac{500}{3}.

Passo 4

Por simetria da região em relação ao eixo y, temos imediatamente
\bar{x} = 0.

Passo 5

Para \bar{y}, usamos a fórmula do momento estático M_y:
M_y = \iint_{R} y\,dA = \int_{-5}^{5} \int_{0}^{25 - x^2} y\,dy\,dx = \int_{-5}^{5} \frac{(25 - x^2)^2}{2}\,dx.
Então
\bar{y} = \frac{M_y}{A} = \frac{1}{A}\int_{-5}^{5} \frac{(25 - x^2)^2}{2}\,dx.

Passo 6

Calcular M_y: o integrando é par, então
M_y = \int_{-5}^{5} \frac{(625 - 50x^2 + x^4)}{2}\,dx = \tfrac12 \cdot 2\int_{0}^{5} (625 - 50x^2 + x^4)\,dx = \int_{0}^{5} (625 - 50x^2 + x^4)\,dx.
Avaliaremos:
\int_{0}^{5} (625 - 50x^2 + x^4)\,dx = \Bigl[625x - \tfrac{50\,x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{5} = 3125 - \tfrac{6250}{3} + 625 = \tfrac{5000}{3}.
Logo
M_y = \tfrac{5000}{3},
e
\bar{y} = \frac{M_y}{A} = \frac{\tfrac{5000}{3}}{\tfrac{500}{3}} = 10.

Resposta

(\bar{x}, \bar{y}) = (0,\,10).

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