Um capacitor, consistindo de duas placas circulares de área A=0,20 \mathrm{~m}^{2}, está ligado a uma fonte de potencial \mathcal{E}=V_{m} \operatorname{sen}(\omega t), com V_{m}=400 \mathrm{Ve} \omega=150 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. O valor máximo da corrente de deslocamento é i_{d}=4,5 \times 10^{-5} \mathrm{~A}. Despreze os efeitos de borda do campo elétrico nas extremidades das placas. Calcule: (a) o valor máximo de corrente de condução i, (b) o valor máximo de d \Phi_{E} / d t, sendo \Phi_{E} o fluxo elétrico através da região entre as placas, (c) a separação d entre as placas, (d) o valor máximo do módulo de \boldsymbol{B} entre as placas a uma distância r=0,10 \mathrm{~m} do centro.

Passo 1

Temos um capacitor de placas circulares com área A=0{,}20\,\mathrm{m}^2 ligado a uma fonte senoidal \mathcal{E}(t)=V_m\sin(\omega t), onde V_m=400\,\mathrm{V} e \omega=150\,\mathrm{rad/s}.
Foi dado que a corrente de deslocamento atinge o valor máximo
i_d^{\max}=4{,}5\times10^{-5}\,\mathrm{A}.
Pede-se:
a) a corrente de condução máxima i^{\max},
b) o valor máximo de \frac{d\Phi_E}{dt},
c) a separação d entre as placas,
d) o valor máximo de \mathbf B entre as placas a r=0{,}10\,\mathrm{m}.
Usaremos a igualdade entre corrente de condução e de deslocamento, a definição de fluxo elétrico e a lei de Ampère–Maxwell.

Passo 2

Em regime estacionário AC a corrente que circula no fio (condução) é igual, em módulo, à corrente de deslocamento dentro do capacitor, ou seja
i(t)=i_d(t)
para todo t. Logo, a amplitude da corrente de condução é a mesma de i_d:
i^{\max}=4{,}5\times10^{-5}\,\mathrm{A}.

Passo 3

Pela definição de corrente de deslocamento de Maxwell,
i_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}.
Isolando a derivada do fluxo elétrico, obtemos
\frac{d\Phi_E}{dt} =\frac{i_d}{\varepsilon_0}.
Substituindo i_d^{\max}=4{,}5\times10^{-5}\,\mathrm{A} e \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m},
\Bigl(\frac{d\Phi_E}{dt}\Bigr)^{\max} =\frac{4{,}5\times10^{-5}}{8{,}85\times10^{-12}} \approx5{,}1\times10^{6}\,\mathrm{V\cdot m/s}.

Passo 4

O fluxo elétrico entre as placas é
\Phi_E(t)=E(t)\,A =\frac{V(t)}{d}\,A \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\Phi_E}{dt} =\frac{A}{d}\,\frac{dV}{dt}.
Como V(t)=V_m\sin(\omega t), a derivada atinge no máximo
\Bigl(\frac{d\Phi_E}{dt}\Bigr)^{\max} =\frac{A}{d}\,\omega V_m.
Igualando ao valor do passo 3 e resolvendo para d,
\frac{A\,\omega V_m}{d} =5{,}1\times10^{6} \;\Longrightarrow\; d =\frac{A\,\omega V_m}{5{,}1\times10^{6}} =\frac{0{,}20\times150\times400}{5{,}1\times10^{6}} \approx2{,}36\times10^{-3}\,\mathrm{m}.

Passo 5

Aplicando a lei de Ampère–Maxwell num caminho circular de raio r entre as placas,
\oint B\,dl=\mu_0\,i_d \quad\Longrightarrow\quad B\,(2\pi r)=\mu_0\,i_d.
Assim,
B(r)=\frac{\mu_0\,i_d}{2\pi r}.
Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}, i_d^{\max}=4{,}5\times10^{-5}\,\mathrm{A} e r=0{,}10\,\mathrm{m},
B^{\max} =\frac{4\pi\times10^{-7}\times4{,}5\times10^{-5}}{2\pi\times0{,}10} =9{,}0\times10^{-11}\,\mathrm{T}.

Resposta

(a) i^{\max}=4{,}5\times10^{-5}\,\mathrm{A}
(b) \bigl(d\Phi_E/dt\bigr)^{\max}=5{,}1\times10^{6}\,\mathrm{V\cdot m/s}
(c) d=2{,}36\times10^{-3}\,\mathrm{m}
(d) B^{\max}(r=0{,}10\,\mathrm{m})=9{,}0\times10^{-11}\,\mathrm{T}

Exercícios relacionados