Um cabo coaxial de seção reta circular, com condutores de raios a e c, tem um dielétrico composto. O condutor interno tem raio a e é circundado por um revestimento dilétrico de constante kappa1 e de raio externo b. Segue-se outro revestimento de dielétrico kappa2 de raio c>b. Se uma ddp varphi0 é estabelecida entre os condutores, determine a polarização entre os condutores. Dica: P=P1+P2.

Passo 1

O enunciado fala de um cabo coaxial com condutor interno de raio a revestido por dois dielétricos em série (de constantes kappa1 para a<r<b e kappa2 para b<r<c), sujeito a uma diferença de potencial varphi0. Queremos encontrar a polarização vec P nos dois intervalos radiais e depois somá-las: vec P=vec P1+vec P2. Para isso vamos usar Gauss para vec D, a relação vec D=varepsilon0,kappa,vec E, e em seguida vec P=varepsilon0(kappa-1)vec E.

Passo 2

Aplicando a lei de Gauss para o vetor deslocamento vec D em simetria cilíndrica, definindo lambda como a densidade de carga livre por unidade de comprimento, temos:
ointvec Dcdot dvec S=lambda Rightarrow D(r),2pi r=lambda Rightarrow D(r)=lambda2pi r,hat r

Passo 3

Como vec D=varepsilon0,kappai,vec E em cada região, obtemos o campo elétrico:
Ei(r)=D(r)varepsilon0,kappai=lambda2pivarepsilon0,kappai,r,hat r, i=1 ou 2

Passo 4

A diferença de potencial varphi0 entre r=a e r=c é
varphi0=-integrala^cvec Ecdot dvec r=-integrala^bE1(r),dr-integralb^cE2(r),dr =lambda2pivarepsilon0l(1kappa1lnba+1kappa2lncbr)

Passo 5

Daí isolamos lambda:
lambda=2pivarepsilon0,varphi01kappa1lnba+1kappa2lncb

Passo 6

Em um dielétrico linear temos vec P=varepsilon0(kappa-1)vec E. Logo em cada região:
vec Pi(r)=varepsilon0(kappai-1),Ei(r),hat r=varepsilon0(kappai-1)lambda2pivarepsilon0,kappai,r,hat r=kappai-1kappailambda2pi r,hat r

Resposta

Para a região a<r<b:
vec P1(r)=kappa1-1kappa112pi r2pivarepsilon0,varphi01kappa1lnba+1kappa2lncb,hat r =(kappa1-1)varepsilon0,varphi0r,kappa1l(1kappa1lnba+1kappa2lncbr),hat r,
Para a região b<r<c:
vec P2(r)=(kappa2-1)varepsilon0,varphi0r,kappa2l(1kappa1lnba+1kappa2lncbr),hat r

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