Um cilindro de raio R e altura h (centrado na origem) possui polarização P dada por
P=(a+b z^2)(+ez)
orientada ao longo do eixo de simetria, sendo a e b parâmetros constantes.
(a) Obtenha o momento (de dipolo) elétrico p do cilindro.
p=integral P d v
(b) idem para as densidades superficial e volumétrica de carga ligada de polarização.
(c) Confirme os dados nos itens acima verificando, primeiro, se a carga efetiva total de polarização é nula.
(d) Em seguida, obtenha o momento elétrico usando o lado direito da relação
p=integral P d v=integral r^prime rhop d v+oint r^prime sigmap d A
em que r^prime é o vetor posição da respectiva distribuição de carga. Este resultado pode ser obtido a partir da identidade
oint F(G cdot n) d A=integral d v F(div G)+integral d v(G cdot grad) F
para F=r^prime e G=P.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de raio R e altura h, centrado na origem, com polarização
P=(a+b,z^2),ez,
onde a e b são constantes. Precisamos:
– (a) calcular o momento de dipolo elétrico vec p=integral vec P,dv,
– (b) encontrar as densidades de carga ligada sigmap e rhop,
– (c) mostrar que a carga total ligada é nula,
– (d) recomputar vec p via vec p=integral vec r',rhop,dv+oint vec r',sigmap,dA e conferir o resultado.

Passo 2

Cálculo direto de vec p=integral vec P,dv. Em coordenadas cilíndricas temos
dv=r,dr,dphi,dz, vec P=(a+bz^2),hat ez
Logo
vec p =hat ez integralz=- h2^ h2!! integralphi=0^2pi!! integralr=0^R(a+bz^2),r,dr,dphi,dz =hat ez,2pi! integral- h2^ h2 (a+bz^2) l[tfracr^22r]0^R dz
Isto dá
vec p =hat ez,pi R^2 integral- h2^ h2(a+bz^2),dz =hat ez,pi R^2l[a,h +b,h^312r]

Passo 3

Densidades de carga ligada:
– Superficial: sigmap=vec Pcdothat n. Na parede lateral hat n=hat er, logo sigmap,lat=0. Nas tampas,
sigmap,sup =l(a+b,(h/2)^2r),, sigmap,inf =-l(a+b,(h/2)^2r)
– Volumétrica: rhop=-nablacdotvec P=-ddz(a+bz^2)=-2b,z

Passo 4

Carga ligada total:
Qrho =integral rhop,dv =-2bintegral- h2^ h2z,dz;pi R^2 =0,
Qsigma =oint sigmap,dA =pi R^2l[sigmap,sup+sigmap,infr] =0
Logo Qtotal=Qrho+Qsigma=0.

Passo 5

Momento por cargas ligadas:
vec p =integral vec r',rhop,dv +oint vec r',sigmap,dA
Tomando vec r'=z,hat ez,
integral vec r'rhopdv =hat ez(-2b)pi R^2 integral- h2^ h2z^2dz =-hat ez,bpi R^2h^36,
oint vec r'sigmapdA =hat ez,pi R^2 l[tfrac h2(a+btfrach^24)-l(-tfrac h2r)(-a-btfrach^24)r] =hat ez,pi R^2,hl(a+btfrach^24r)
Somando,
vec p =hat ez,pi R^2l[a,h +b,h^34-b,h^36r] =hat ez,pi R^2l[a,h +b,h^312r],
igual ao encontrado no passo 2.

Resposta

(a) p=ez,pi R^2l(a,h+b,h^312r)\n(b) sigmap,lat=0,;sigmap,sup=a+bl(tfrach2r)^2,;sigmap,inf=-(a+bl(tfrach2r)^2),;rhop=-2b,z\n(c) A carga ligada total é zero.\n(d) O cálculo do momento por rhop e sigmap confirma o mesmo p.

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