(3 pontos) Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio
e densidade de carga superficial
. O cilindro mais externo tem raio
(com
) e densidade de carga superficial
. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio
em cada uma das seguintes condições: a)
, b)
e c)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui são dois cilindros condutores muito longos, um dentro do outro. O cilindro de dentro tem raio
e uma densidade de carga superficial
, e o de fora tem raio
(
) com densidade de carga
. Nosso objetivo é usar a Lei de Gauss e a simetria desse sistema para encontrar o campo elétrico
em três regiões diferentes:
a)
b)
c)
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a constante de permissividade do vácuo.
Como os cilindros são muito longos e concêntricos, a simetria é cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico
só depende da distância
do eixo e aponta radialmente para fora ou para dentro.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei de Gauss em cada uma das três regiões:
a)
Nessa região, estamos dentro do cilindro interno. Como os cilindros são condutores e a carga está distribuída na superfície, não há carga dentro dessa região (
).
Aplicando a Lei de Gauss:
Conclusão:
para
.
b)
Agora, estamos na região entre os dois cilindros. A carga encerrada pela superfície gaussiana é apenas a do cilindro interno.
A carga total no cilindro interno (
) é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Conclusão:
para
.
c)
Nesta região, estamos fora dos dois cilindros. A carga total encerrada é a soma das cargas dos dois cilindros.
A carga total (
) é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Conclusão:
para
.
Resposta
O campo elétrico
nas diferentes regiões é dado por:
a) Para
:
b) Para
:
c) Para
: