(3 pontos) Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio ra e densidade de carga superficial sigma1. O cilindro mais externo tem raio rb (com rb>ra ) e densidade de carga superficial sigma2. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio r em cada uma das seguintes condições: a) r<ra, b) ra<r<rb e c) r>rb.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui são dois cilindros condutores muito longos, um dentro do outro. O cilindro de dentro tem raio ra e uma densidade de carga superficial sigma1 , e o de fora tem raio rb ( rb > ra ) com densidade de carga sigma2 . Nosso objetivo é usar a Lei de Gauss e a simetria desse sistema para encontrar o campo elétrico E(r) em três regiões diferentes:
a) r < ra
b) ra < r < rb
c) r > rb

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde Qenc é a carga total dentro da superfície gaussiana e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.
Como os cilindros são muito longos e concêntricos, a simetria é cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico E só depende da distância r do eixo e aponta radialmente para fora ou para dentro.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Gauss em cada uma das três regiões:

a) r < ra

Nessa região, estamos dentro do cilindro interno. Como os cilindros são condutores e a carga está distribuída na superfície, não há carga dentro dessa região ( Qenc = 0 ).
Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E(r) cdot 2pi r L = 0varepsilon0 Rightarrow E(r) = 0
Conclusão: E(r) = 0 para r < ra .

b) ra < r < rb

Agora, estamos na região entre os dois cilindros. A carga encerrada pela superfície gaussiana é apenas a do cilindro interno.
A carga total no cilindro interno ( Qenc ) é:
Qenc = sigma1 cdot 2pi ra L
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r) cdot 2pi r L = sigma1 cdot 2pi ra Lvarepsilon0
Simplificando:
E(r) = sigma1 ravarepsilon0 r
Conclusão: E(r) = sigma1 ravarepsilon0 r para ra < r < rb .

c) r > rb

Nesta região, estamos fora dos dois cilindros. A carga total encerrada é a soma das cargas dos dois cilindros.
A carga total ( Qenc ) é:
Qenc = sigma1 cdot 2pi ra L + sigma2 cdot 2pi rb L
Aplicando a Lei de Gauss:
E(r) cdot 2pi r L = (sigma1 ra + sigma2 rb) cdot 2pi Lvarepsilon0
Simplificando:
E(r) = sigma1 ra + sigma2 rbvarepsilon0 r
Conclusão: E(r) = sigma1 ra + sigma2 rbvarepsilon0 r para r > rb .

Resposta

O campo elétrico E(r) nas diferentes regiões é dado por:
a) Para r < ra :
E(r) = 0
b) Para ra < r < rb :
E(r) = sigma1 ravarepsilon0 r
c) Para r > rb :
E(r) = sigma1 ra + sigma2 rbvarepsilon0 r

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