Determine o potencial e campo elétrico produzidos por uma esfera de raio R com polarização uniforme P=P0 ez para pontos z>R e z<R. (Dica: Lembre que a polarização gera cargas ligadas: sigmalig=P n e rholig=nabla P.) (Dica 2: Lembre que para z>R temos que raizz^2+R^2-2 z R=z-R, enquanto que para z<R temos que raizz^2+R^2-2 z R=R-z.)

Passo 1

Temos uma esfera de raio R com polarização uniforme
vec P = P0,hat ez. Queremos o potencial elétrico
V e o campo elétrico vec E ao longo do eixo z para
os casos z>R e z<R. O que vamos usar: as cargas ligadas
geradas por vec P e o fato de que uma distribuição
sigmarm lig=P0costheta numa esfera equivale a um
dipolo de momento p=(4pi R^3/3)P0.

Passo 2

Calculamos as cargas ligadas. Como vec P é uniforme,
rhorm lig=-nabla!cdotvec P=0
no volume. Na superfície da esfera a carga ligada é
sigmarm lig=vec Pcdothat n =P0costheta,
Logo só há carga superficial com densidade sigmarm lig=P0costheta.

Passo 3

Essa distribuição superficial equivale a um dipolo de momento
p=integralrm esferasigmarm lig,vec r',da =4pi R^33,P0,hat ez,

Passo 4

Para z>R o potencial no eixo de um dipolo de momento p é
V(z)=14pivarepsilon0;pz^2 =P0R^33varepsilon0,z^2,
O campo resultante é
vec E(z) =-dVdz,hat ez =2P0R^33varepsilon0,z^3,hat ez,

Passo 5

Para z<R, dentro da esfera, o campo de uma polarização
uniforme é uniforme e vale
vec Erm in =-vec P3varepsilon0 =-P03varepsilon0,hat ez,
Integrando vec E=-dV/dz e impondo que V seja contínuo
em z=R, obtemos
V(z)=P0,z3varepsilon0,, vec E(z)=-P03varepsilon0,hat ez,

Resposta

Para z>R:
V(z)=P0R^33varepsilon0,z^2, vec E(z)=2P0R^33varepsilon0,z^3;hat ez
Para z<R:
V(z)=P0,z3varepsilon0, vec E(z)=-P03varepsilon0;hat ez

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