Calcule os seguintes limites:
lim x 1 3 x^3-4 x^2-x+22 x^3-3 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to 1 3x^3-4x^2-x+22x^3-3x^2+1
O conteúdo é limite de função racional com forma indeterminada 0/0. Para resolver vamos usar fatoração de polinômios (por exemplo divisão sintética) para cancelar o fator que gera a indeterminação.

Passo 2

Primeiro substituímos x=1 diretamente para ver o tipo de limite:
Numerador em x=1:3-4-1+2=0, Denominador em x=1:2-3+1=0
Como obtemos 0/0, é um caso indeterminado, e precisamos fatorar numerador e denominador para simplificar.

Passo 3

Fatoramos o numerador 3x^3-4x^2-x+2 por x-1 usando divisão sintética em x=1. O quociente é 3x^2-x-2 e sobra zero, logo
3x^3-4x^2-x+2 = (x-1),(3x^2-x-2)
Depois fatoramos 3x^2-x-2 como
3x^2-x-2 = (3x+2)(x-1),
portanto
3x^3-4x^2-x+2 = (x-1)^2(3x+2)

Passo 4

Agora fatoramos o denominador 2x^3-3x^2+1 por x-1 também com divisão sintética em x=1. O quociente é 2x^2-x-1 e sobra zero, então
2x^3-3x^2+1 = (x-1),(2x^2-x-1)
E em seguida fatoramos 2x^2-x-1 como
2x^2-x-1 = (2x+1)(x-1),
logo
2x^3-3x^2+1 = (x-1)^2(2x+1)

Passo 5

Substituindo as fatorações no limite, temos
3x^3-4x^2-x+22x^3-3x^2+1 = (x-1)^2(3x+2)(x-1)^2(2x+1)
e podemos cancelar (x-1)^2, obtendo a função simplificada
3x+22x+1
Agora calculamos o limite xto1 diretamente:
limxto13x+22x+1 =3cdot1+22cdot1+1 =53

Resposta

53

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