Um cabo eléctrico de 2 mm apresenta uma temperatura de 45^{\circ} \mathrm{C} estando envolvido num isolante plástico de 0.5 mm ( k_{\text {isol }}=0.13 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) ). A temperatura do meio exterior é 10^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transmissão 12 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2}\right. \mathrm{K}). Verificar se o revestimento de plástico faz aumentar ou diminuir a taxa de transferência de calor.

Passo 1

O enunciado nos dá um cabo cilíndrico de raio interno r_{1}=1{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m} (diâmetro 2\,\mathrm{mm}) envolvido por um isolante plástico de espessura 0{,}5\,\mathrm{mm}, isto é raio externo r_{2}=1{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{m}. A temperatura do condutor é 45\\ ^\circ\mathrm{C} e do meio exterior é 10\\ ^\circ\mathrm{C}. O coeficiente de convecção externa vale h=12\,\mathrm{W/(m^{2}\,K)} e a condutividade térmica do plástico é k_{\mathrm{isol}}=0{,}13\,\mathrm{W/(m\,K)}. Vamos calcular a taxa de calor por metro de cabo com e sem isolante e verificar se o revestimento aumenta ou diminui a troca térmica.

Passo 2

Para um comprimento de referência L=1\,\mathrm{m}, as resistências térmicas em série são:
– resistência por condução cilíndrica no isolante
R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}{2\pi\,k_{\mathrm{isol}}\,L}
– resistência por convecção na superfície externa
R_{\mathrm{conv,2}}=\frac{1}{h\,2\pi\,r_{2}\,L}
A resistência total com isolante é
R_{\mathrm{ins}}=R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv,2}}\,.

Passo 3

Cálculo de R_{\mathrm{cond}}:
\ln\frac{r_{2}}{r_{1}}=\ln\frac{1{,}5\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-3}}=\ln(1{,}5)\approx0{,}4055
R_{\mathrm{cond}}=\frac{0{,}4055}{2\pi\times0{,}13\times1}\approx0{,}4966\\ \mathrm{K/W}

Passo 4

Cálculo de R_{\mathrm{conv,2}} e R_{\mathrm{ins}}:
h\,2\pi\,r_{2}\,L =12\times2\pi\times1{,}5\times10^{-3}\times1\approx0{,}1131\\ \mathrm{W/K}
R_{\mathrm{conv,2}}=\frac{1}{0{,}1131}\approx8{,}846\\ \mathrm{K/W}
R_{\mathrm{ins}}=0{,}4966+8{,}846\approx9{,}343\\ \mathrm{K/W}

Passo 5

Taxa de calor com isolante:
\Delta T=45-10=35\\ \mathrm{K}
Q_{\mathrm{ins}}=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{ins}}}=\frac{35}{9{,}343}\approx3{,}75\\ \mathrm{W\\ per\\ m}

Passo 6

Sem isolante, a única resistência é a de convecção em r_{1}:
h\,2\pi\,r_{1}\,L =12\times2\pi\times1{,}0\times10^{-3}\times1\approx0{,}0754\\ \mathrm{W/K}
R_{\mathrm{conv,1}}=\frac{1}{0{,}0754}\approx13{,}26\\ \mathrm{K/W}
Q_{0}=\frac{35}{13{,}26}\approx2{,}64\\ \mathrm{W\\ per\\ m}

Passo 7

Comparando as taxas:
Q_{\mathrm{ins}}\approx3{,}75\\ \mathrm{W/m},\quad Q_{0}\approx2{,}64\\ \mathrm{W/m}
Como Q_{\mathrm{ins}}>Q_{0}, a adição do revestimento de plástico aumenta a transferência de calor (pois a redução da resistência convectiva externa ao aumentar a área superficial supera a resistência do próprio plástico).

Resposta

O revestimento de plástico faz aumentar a taxa de transferência de calor.

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