Nos exercícios a seguir considere
e
.
Seja um campo de velocidades descrito por
, calcule uma função
que descreva as linhas de corrente e as funções temporais que descrevem a trajetória de uma partícula que parte dos pontos
e
.
Seja um campo de velocidades descrito por
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidades
e pede duas coisas:
e pede duas coisas:
- Uma função
que descreva as linhas de corrente, isto é, curvas cujos vetores tangentes são proporcionais a . - As funções temporais
e que descrevem a trajetória de uma partícula sujeita a esse campo, partindo nos pontos , e .
Passo 2
Para as linhas de corrente usamos a relação
Essa é uma equação diferencial separável. Separamos variáveis:
e integramos ambos os lados:
O valor de
vem da condição de passar por cada ponto inicial:
- Em
temos , logo . - Em
temos , logo
- Em
temos , logo
Passo 3
Para as trajetórias resolvemos o sistema de equações de movimento
com condição inicial
,
. Integramos em duas etapas:
-
dá
-
é equação linear de coeficiente constante, cuja solução é
Agora basta usar
de cada ponto
em
.
Resposta
Linhas de corrente:
(a) para ,
;
(b) para ,
;
(c) para ,
.
(a) para
(b) para
(c) para
Trajetórias (
, com
no ponto inicial):
(a) em
(a) em
(b) em
(c) em