Nos exercícios a seguir considere
\vec{g}=10 \mathrm{~m} / \\mathrm{s}^{2} e \rho_{a g}=1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Seja um campo de velocidades descrito por
\vec{V}=2 \hat{i}+3 y \hat{j}, calcule uma função y(x) que descreva as linhas de corrente e as funções temporais que descrevem a trajetória de uma partícula que parte dos pontos P 1:(1 ; 0), P 2:(0 ; 1) e P 3:(1 ; 1).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades \vec{V}=2\,\hat{i}+3y\,\hat{j}
e pede duas coisas:
  1. Uma função y(x) que descreva as linhas de corrente, isto é, curvas cujos vetores tangentes são proporcionais a \vec{V}.
  2. As funções temporais x(t) e y(t) que descrevem a trajetória de uma partícula sujeita a esse campo, partindo nos pontos P_1:(1,0), P_2:(0,1) e P_3:(1,1).

Passo 2

Para as linhas de corrente usamos a relação
\frac{dy}{dx}=\frac{V_y}{V_x}=\frac{3y}{2}.
Essa é uma equação diferencial separável. Separamos variáveis:
\frac{dy}{y}=\frac{3}{2}\,dx
e integramos ambos os lados:
\ln y=\frac{3}{2}\,x + C
y=C\,e^{\tfrac{3}{2}x}.
O valor de C vem da condição de passar por cada ponto inicial:
  • Em P_1:(1,0) temos 0=C\,e^{3/2}\Rightarrow C=0, logo y(x)=0.
  • Em P_2:(0,1) temos 1=C\,e^0\Rightarrow C=1, logo
y(x)=e^{\tfrac{3}{2}x}.
  • Em P_3:(1,1) temos 1=C\,e^{3/2}\Rightarrow C=e^{-\tfrac{3}{2}}, logo
y(x)=e^{-\tfrac{3}{2}}\,e^{\tfrac{3}{2}x}=e^{\tfrac{3}{2}(x-1)}.

Passo 3

Para as trajetórias resolvemos o sistema de equações de movimento
\frac{dx}{dt}=2,
\frac{dy}{dt}=3y,
com condição inicial x(0)=x_0, y(0)=y_0. Integramos em duas etapas:
  1. \displaystyle dx/dt=2
x(t)=2t + x_0.
  1. \displaystyle dy/dt=3y é equação linear de coeficiente constante, cuja solução é
y(t)=y_0\,e^{3t}.
Agora basta usar (x_0,y_0) de cada ponto P_i em t=0.

Resposta

Linhas de corrente:
(a) para P_1, y(x)=0;
(b) para P_2, y(x)=e^{\frac{3}{2}x};
(c) para P_3, y(x)=e^{\frac{3}{2}(x-1)}.
Trajetórias ( t\ge0, com t=0 no ponto inicial):
(a) em P_1:(1,0)
x(t)=2t+1,\quad y(t)=0.
(b) em P_2:(0,1)
x(t)=2t,\quad y(t)=e^{3t}.
(c) em P_3:(1,1)
x(t)=2t+1,\quad y(t)=e^{3t}.

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