Nos exercícios a seguir considere
\vec{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \rho_{a g}=1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Considere um campo de velocidades
\vec{V}=2 x \hat{i}+y(t+1) \hat{j}. Calcule a função y(x) que descreve as linhas de corrente no instante t=0 e mostre que a função y(x) que descreve a trajetória de uma partícula que está no ponto ( 1 ; 1 ) em t=0 é diferente das funções das linhas de corrente. Por que isso acontece?

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidades não estacionário
\vec V(x,y,t)=2x\,\hat \imath + y\,(t+1)\,\hat \jmath
e pede duas curvas no plano xy: as linhas de corrente no instante t=0 e a trajetória (pathline) de uma partícula que em t=0 passa por (1,1). Vamos usar:
  1. Linhas de corrente são soluções de \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v}{u} com t fixo (aqui t=0).
  2. Trajetória de partícula satisfaz o sistema de ODEs \dot x=u(x,y,t), \dot y=v(x,y,t) com condições iniciais x(0)=1, y(0)=1.

Passo 2

No instante t=0 temos
u=2x,\quad v=y\,(0+1)=y,
logo a equação das linhas de corrente é
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}.
Separamos variáveis e integramos:
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{2x}\quad\Longrightarrow\quad \ln y=\tfrac12\ln x + C \quad\Longrightarrow\quad y=C\,x^{1/2}.
A constante C identifica cada linha de corrente.

Passo 3

Para a linha de corrente que passa por (1,1) basta pôr x=1, y=1 em y=C\sqrt x, daí
1=C\sqrt1\quad\Longrightarrow\quad C=1
e a curva é
\boxed{y=\sqrt{x}}\quad\text{(linha de corrente em }t=0\text{).}

Passo 4

Agora a trajetória de partícula resolve
\dot x=2x,\quad \dot y=y\,(t+1),
com x(0)=1, y(0)=1. Integramos cada uma:
\dot x=2x\;\Longrightarrow\; x(t)=e^{2t},
\frac{\dot y}{y}=t+1\;\Longrightarrow\;\ln y=\int_0^t(\tau+1)d\tau =\frac{t^2}{2}+t\quad\Longrightarrow\quad y(t)=\exp\!\bigl(t+\tfrac{t^2}{2}\bigr).

Passo 5

Para escrever y em função de x eliminamos t por t=\tfrac12\ln x. Então
y(x) =\exp\!\Bigl(\tfrac12\ln x+\tfrac12\bigl(\tfrac12\ln x\bigr)^2\Bigr) =\sqrt{x}\,\exp\!\Bigl(\tfrac{(\ln x)^2}{8}\Bigr).
Essa curva é diferente de y=\sqrt{x}.

Resposta

Linha de corrente em t=0: y=\sqrt{x}. Trajetória da partícula que parte de (1,1) em t=0:
y=\sqrt{x}\,\exp\!\bigl(\tfrac{(\ln x)^2}{8}\bigr).
Elas diferem porque o campo é não estacionário v depende de t, e em fluxos não estacionários as linhas de corrente (instantâneas) não coincidem com as trajetórias de partículas.

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