Nos exercícios a seguir considere
e
.
Considere um campo de velocidades
. Calcule a função
que descreve as linhas de corrente no instante
e mostre que a função
que descreve a trajetória de uma partícula que está no ponto (
) em
é diferente das funções das linhas de corrente. Por que isso acontece?
Considere um campo de velocidades
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidades não estacionário
e pede duas curvas no plano
: as linhas de corrente no instante
e a trajetória (pathline) de uma partícula que em
passa por
. Vamos usar:
- Linhas de corrente são soluções de
com fixo (aqui ). - Trajetória de partícula satisfaz o sistema de ODEs
, com condições iniciais , .
Passo 2
No instante
temos
logo a equação das linhas de corrente é
Separamos variáveis e integramos:
A constante
identifica cada linha de corrente.
Passo 3
Para a linha de corrente que passa por
basta pôr
,
em
, daí
e a curva é
Passo 4
Agora a trajetória de partícula resolve
com
,
. Integramos cada uma:
Passo 5
Para escrever
em função de
eliminamos
por
. Então
Essa curva é diferente de
.
Resposta
Linha de corrente em
:
Trajetória da partícula que parte de
em
:
Elas diferem porque o campo é não estacionário
depende de
, e em fluxos não estacionários as linhas de corrente (instantâneas) não coincidem com as trajetórias de partículas.