Considere uma esfera de 5 mm de diâmetro coberta por uma camada de 1 mm de isolamento plástico ( k_{\text {plast. }}=0.13 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) )). A esfera está exposta ao ar, a 15^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo 20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). O plástico faz aumentar ou diminuir o calor transferido?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de diâmetro 5\:\mathrm{mm} (portanto raio interno R_i) envolvida por uma camada de plástico de espessura 1\:\mathrm{mm}. O plástico tem condutividade térmica k=0{,}13\:\mathrm{W/(m\cdot K)}. A superfície externa da camada está exposta ao ar a 15^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=20\:\mathrm{W/(m^2\cdot K)}. Queremos saber se a adição desse plástico faz o calor transferido aumentar ou diminuir. Para isso vamos comparar a resistência térmica do caso sem plástico (apenas convecção) com o caso com plástico (condução em série com convecção).

Passo 2

Primeiro calculamos os raios internos e externos em metros:
R_i = \frac{5\:\mathrm{mm}}{2} = 2{,}5\times 10^{-3}\:\mathrm{m},
R_o = R_i + 1\:\mathrm{mm} = 3{,}5\times 10^{-3}\:\mathrm{m}.

Passo 3

A resistência de condução através de uma casca esférica é
R_{\mathrm{cond}} = \frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_i}-\frac{1}{R_o}\Bigr).
Substituindo k=0{,}13\:\mathrm{W/(m\cdot K)}, R_i=2{,}5\times10^{-3}\:\mathrm{m} e R_o=3{,}5\times10^{-3}\:\mathrm{m}, temos numericamente
R_{\mathrm{cond}} \approx \frac{1}{4\pi\cdot0{,}13}\bigl(400 - 285{,}7\bigr) \approx 70\:\mathrm{K/W}.

Passo 4

A resistência de convecção na esfera sem isolamento (raio R_i) é
R_{\mathrm{conv,bare}} = \frac{1}{h\;4\pi R_i^2} = \frac{1}{20\cdot4\pi\,(2{,}5\times10^{-3})^2} \approx 636\:\mathrm{K/W}.

Passo 5

A resistência de convecção no caso com isolamento (raio externo R_o) é
R_{\mathrm{conv,ins}} = \frac{1}{h\;4\pi R_o^2} = \frac{1}{20\cdot4\pi\,(3{,}5\times10^{-3})^2} \approx 325\:\mathrm{K/W}.

Passo 6

No caso com plástico a resistência total é a soma em série:
R_{\mathrm{total,ins}} = R_{\mathrm{cond}} + R_{\mathrm{conv,ins}} \approx 70 + 325 = 395\:\mathrm{K/W}.
Como 395\:\mathrm{K/W} < 636\:\mathrm{K/W}, a resistência total diminui quando colocamos o plástico. Menor resistência significa maior fluxo de calor para a mesma diferença de temperatura.

Resposta

A camada de plástico, apesar de ser isolante, aumenta a área de troca de calor de forma que a resistência total cai de 636\:\mathrm{K/W} para 395\:\mathrm{K/W}. Logo, o calor transferido aumenta com o plástico.

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