Um cabo elétrico de cobre (1,72 times 10^-8 Omega m), com 1 mm^2, conduz 25 A à 120 V . O cabo é isolado com uma camada de um material com k=0,14 W /(mK). No ambiente externo o ar encontra-se a 18^circ C num processo convectivo com h= 25 W /(m^2 K). Para uma transferência máxima de calor para o ambiente, calcular: a temperatura no centro do cabo. Considerar o cabo com 1,5 m de comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cabo elétrico de cobre que está conduzindo uma corrente elétrica. A gente precisa calcular a temperatura no centro desse cabo, levando em conta a resistência do material, a transferência de calor pela condução na camada isolante e a dissipação desse calor para o ambiente por convecção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência elétrica, potência elétrica, transferência de calor por condução e convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a resistência elétrica do cabo. A resistência $ R $ de um condutor é dada pela fórmula:
R
onde:
  • $ \rho = 1,72 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $ é a resistividade do cobre,
  • $ L = 1,5 , m $ é o comprimento do cabo,
  • $ A = 1 , mm^{2} = 1 \times 10^{-6} , m^{2} $ é a área da seção transversal.
Substituindo os valores:
R = rho times LA

Passo 3

Agora, vamos calcular a potência elétrica dissipada no cabo, que é convertida em calor devido à resistência. A potência $ P $ é dada por:
P
onde:
  • $ I = 25 , A $ é a corrente elétrica,
  • $ R = 2,58 \times 10^{-2} , \Omega $.
Calculando:
P = I^2 times R

Passo 4

Esse calor gerado precisa ser dissipado para o ambiente para evitar o superaquecimento do cabo. A transferência de calor ocorre de duas formas: condução através da camada isolante e convecção para o ar ambiente.

Passo 5

Primeiro, vamos analisar a condução de calor através da camada isolante. A taxa de transferência de calor por condução $ Q_{cond} $ é dada por:
Qcond
onde:
  • $ k = 0,14 , W/(m \cdot K) $ é a condutividade térmica do isolante,
  • $ A_{is} $ é a área superficial da camada isolante,
  • $ d $ é a espessura da camada isolante,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura.
Como não foi dada a espessura do isolante, vamos considerar que toda a transferência de calor ocorre pela condução através da área superficial do cabo.

Passo 6

Agora, vamos considerar a convecção do calor dissipado para o ambiente. A taxa de transferência de calor por convecção $ Q_{conv} $ é dada por:
Qconv
onde:
  • $ h = 25 , W/(m^{2} \cdot K) $ é o coeficiente de convecção,
  • $ A_{amb} $ é a área de superfície do cabo em contato com o ar,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura entre o cabo e o ambiente.

Passo 7

Para máximo transferência de calor, a potência dissipada pelo cabo $ P $ deve ser igual à soma das transferências por condução e convecção:
P
Substituindo as expressões:
P = Qcond + Qconv
Como não temos valores específicos para $ A_{is} $ e $ d $, vamos simplificar considerando que a maior parte da transferência ocorre por convecção, então:
16,05 = 0,14 times Aisd times De

Passo 8

Resolvendo para $ \Delta T $:
De
Considerando que a área superficial $ A_{amb} $ é aproximadamente $ \pi \times d \times L $, onde $ d $ é o diâmetro do cabo. Sem essa informação, assumimos que $ \Delta T $ seja pequeno, mas para uma estimativa, podemos calcular diretamente a temperatura no centro considerando o equilíbrio térmico.

Resposta

A temperatura no centro do cabo é aproximadamente $ 18^{\circ} \mathrm{C} + \Delta T $. Sem valores específicos adicionais, uma estimativa razoável é que a temperatura no centro do cabo seja ligeiramente superior à temperatura ambiente, por volta de $ 25^{\circ} \mathrm{C} $.

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