Um cabo flexível de alta tensão, preso entre as extremidades de dois postes de mesma altura e sujeito apenas à força de seu próprio peso, formará uma curva
que é solução da equação diferencial
, em que e h são constantes.
Nessa situação hipotética, a solução geral da equação diferencial dada é
A)
.
B)
.
C )
.
D)
.
E)
.
A)
B)
C )
D)
E)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma equação diferencial de segunda ordem não-linear
Isso faz parte de EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias), mais especificamente de técnicas de separação de variáveis e integração de funções hiperbólicas.
Para resolver vamos precisar:
Para resolver vamos precisar:
- Substituir
para reduzir a ordem; - Separar variáveis e integrar usando a primitiva de
, que é ; - Voltar em
e integrar mais uma vez para achar a forma geral.
Passo 2
Definimos
. Então
Isso é uma equação separável em
e
:
Integrando ambos os lados:
Logo
Passo 3
Agora integramos
pra achar
:
porque
.
Resposta
A solução geral é
ou seja, a alternativa D.