Um cabo flexível de alta tensão, preso entre as extremidades de dois postes de mesma altura e sujeito apenas à força de seu próprio peso, formará uma curva y(x) que é solução da equação diferencial d^2 yd x^2=wh raiz1+(d yd x)^2, em que e h são constantes.
Nessa situação hipotética, a solução geral da equação diferencial dada é
A)
y(x)=-hw ln cos (wh x+C1)+C2.
B)
y(x)=hw senh(wh x+C1)+C2.
C )
y(x)=hw sen(wh x+C1)+C2.
D)
y(x)=hw cosh (wh x+C1)+C2.
E)
y(x)=hw cos (wh x+C1)+C2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma equação diferencial de segunda ordem não-linear
y''=wh,raiz1+(y')^2,
Isso faz parte de EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias), mais especificamente de técnicas de separação de variáveis e integração de funções hiperbólicas.
Para resolver vamos precisar:
  1. Substituir p=y' para reduzir a ordem;
  2. Separar variáveis e integrar usando a primitiva de 1raiz1+p^2, que é arcsinh(p);
  3. Voltar em y e integrar mais uma vez para achar a forma geral.

Passo 2

Definimos p(x)=y'(x). Então
p'=dpdx=y''=whraiz1+p^2,
Isso é uma equação separável em p e x:
dpraiz1+p^2=wh,dx
Integrando ambos os lados:
integraldpraiz1+p^2 =arcsinh(p) =wh,x+C1
Logo
p = y' = sinhl(tfracwhx + C1r)

Passo 3

Agora integramos y'=sinhl(tfracwhx + C1r) pra achar y(x):
y(x) =integral sinh!l(tfracwhx + C1r),dx =hw,cosh!l(tfracwhx + C1r) + C2,
porque ddxcosh(ax+b)=a,sinh(ax+b).

Resposta

A solução geral é
boxedy(x)=hw,coshl(whx + C1r)+C2,
ou seja, a alternativa D.

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