Exercício 11. Seja Omega a região abaixo de uma curva parametrizada C=(x(t), y(t)): t in[a, b] com área A e centroide (barx, bary). Mostre que
barx A & =integrala^b x(t) y(t) x^prime(t) d t bary A & =integrala^b 12[y(t)]^2 x^prime(t) d t

Passo 1

O enunciado descreve a região Omega sob a curva parametrizada
C:;(x(t),y(t)), tin[a,b],;y(t)>=0,
com área A e centroide (bar x,bar y). Sabemos que
bar x = 1AintegralOmegax,dA, bar y = 1AintegralOmegay,dA
Para obter as fórmulas pedidas, vamos expressar integralOmegax,dA e integralOmegay,dA por meio de t, usando mudança de variáveis.

Passo 2

Parametrizamos Omega pela aplicação
(t,v)longmapsto (x,y)=(x(t),v), tin[a,b],;vin[0,y(t)]
O jacobiano dessa transformação é
J=detx'(t)&00&1=x'(t),
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dA = l|Jr|,dt,dv = x'(t),dt,dv

Passo 3

Calculamos a área A apenas para conferência:
A=integralOmegadA =integralt=a^bintegralv=0^y(t)x'(t),dv,dt =integrala^b x'(t),y(t),dt

Passo 4

Agora bar xA=integralOmegax,dA. Usando a parametrização:
bar x A =integralt=a^bintegralv=0^y(t)x(t),x'(t),dv,dt =integrala^b x(t),x'(t),l[y(t)-0r],dt =integrala^b x(t),y(t),x'(t),dt

Passo 5

E bar yA=integralOmegay,dA:
bar y A =integralt=a^bintegralv=0^y(t)v,x'(t),dv,dt =integrala^b x'(t),[y(t)]^22,dt

Resposta

barx A = integrala^b x(t),y(t),x'(t),dt, bary A = integrala^b [y(t)]^22,x'(t),dt

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