Um cabo de força retilíneo transportando uma corrente de 128 A encontra-se na horizontal, abaixo da superfície do solo, ligando o eixo norte-sul de uma localidade em algum lugar do globo terrestre. A localização do cabo pode ser determinada com o auxílio de uma bússola, estando-se exatamente acima do cabo nos pontos onde há deflexão máxima da agulha da bússola. Se a componente horizontal do campo magnético terrestre for de 10 \mu T (apontando para o norte) e a deflexão máxima da bússola for de 12^{\circ}, a profundidade deste cabo vale, em metros, (Sugestão: some vetorialmente os campos magnéticos do fio e da Terra)

Passo 1

O problema trata da superposição do campo magnético terrestre e do campo gerado por um fio retilíneo infinito que transporta corrente. O fio está enterrado a uma profundidade d (distância vertical até a bússola) e percorre o sentido norte–sul, com corrente de intensidade I=128\\ \mathrm{A}. A componente horizontal do campo da Terra vale B_{\rm T}=10\\ \mu\mathrm{T} e aponta para o norte. Em cima do fio, o campo do fio é horizontal e aponta para o leste, desviando o ponteiro da bússola em \theta=12^\circ. Vamos usar:
  1. vetor resultante \vec B_{\rm res}=\vec B_{\rm T}+\vec B_{\rm fio},
  2. tan do ângulo de deflexão \theta dado por \tan\theta = B_{\rm fio}/B_{\rm T},
  3. fórmula do campo de um fio infinito:
B_{\rm fio} = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d}\,.

Passo 2

Quando estamos exatamente sobre o fio, o campo da Terra \vec B_{\rm T} aponta para o norte e o campo gerado pelo fio \vec B_{\rm fio} aponta para o leste. O ponteiro da bússola alinha-se ao campo resultante, formando o triângulo retângulo: norte (terra), leste (fio) e resultante. Da trigonometria:
\tan\theta \;=\;\frac{B_{\rm fio}}{B_{\rm T}}\,.

Passo 3

Isolando B_{\rm fio}:
B_{\rm fio} \;=\; B_{\rm T}\,\tan\theta\,.

Passo 4

Substituindo B_{\rm T}=10\\ \mu\mathrm{T}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{T} e \theta=12^\circ:
B_{\rm fio} =10\times10^{-6}\,\tan(12^\circ) \approx 2{,}13\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\,.

Passo 5

Agora usamos a expressão do campo de um fio retilíneo infinito à distância d:
B_{\rm fio} =\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,d} \quad\Longrightarrow\quad d=\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,B_{\rm fio}}\,.
Com \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} e I=128\\ \mathrm{A}:
d =\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot128}{2\pi\,(2{,}13\times10^{-6})} =\frac{2\cdot128\times10^{-7}}{2{,}13\times10^{-6}} \approx12{,}0\\ \mathrm{m}\,.

Resposta

A profundidade do cabo é aproximadamente 12{,}0\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados