Um cabo é utilizado para descer uma caixa de massa M, a partir do repouso, com aceleração constante g / 4 para baixo. Após a caixa descer uma distância d, encontre (a) o trabalho realizado pela tensão do cabo sobre a caixa, (b) o trabalho realizado pela gravidade sobre a caixa, © a energia cinética da caixa, e (d) a velocidade da caixa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão trata de trabalho e energia envolvida no movimento de um objeto com aceleração constante. Precisamos calcular o trabalho realizado pela tensão no cabo, pelo peso da caixa, a energia cinética da caixa e a velocidade dela após descer uma certa distância. Para isso, vamos precisar entender as forças atuantes, as fórmulas de trabalho e energia, e as equações do movimento com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na caixa. Temos:
  1. Peso §: A força da gravidade puxando a caixa para baixo, dada por $ P = M \cdot g $, onde $ M $ é a massa e $ g $ é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão (T): A força exercida pelo cabo para segurar ou mover a caixa.
Como a caixa está acelerando para baixo com uma aceleração $ a = \frac{g}{4} $, podemos usar a segunda lei de Newton para relacionar as forças:
P = M cdot g

Passo 3

Vamos substituir $ a = \frac{g}{4} $ na equação acima:
a = g4
Agora, vamos isolar a tensão $ T $:
M cdot g - T = M cdot g4

Passo 4

Agora que encontramos a tensão no cabo, podemos calcular o trabalho realizado por ela. O trabalho $ W $ é dado por:
W
Onde:
  • $ T $ é a força (tensão),
  • $ d $ é a distância,
  • $ \theta $ é o ângulo entre a força e a direção do deslocamento.
No nosso caso, a tensão está na mesma direção que o deslocamento (para cima, enquanto a caixa se move para baixo), então $ \theta = 180^\circ $ e $ \cos(180^\circ) = -1 $.
Então,
W = T cdot d cdot cos(theta) ã

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela gravidade. O trabalho realizado pela força peso é:
Wgravidade = P cdot d cdot cos(theta)
Aqui, a força peso está na mesma direção do deslocamento (ambas para baixo), então $ \theta = 0^\circ $ e $ \cos(0^\circ) = 1 $.
Portanto,
theta = 0^circ

Passo 6

Para encontrar a energia cinética da caixa após descer a distância $ d $, usamos o teorema do trabalho e energia, que diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação de sua energia cinética:
d
Como a caixa parte do repouso, $ KE_i = 0 $. Assim,
Wtotal = De
O trabalho total é a soma dos trabalhos individuais:
KEi = 0 ã
Então,
KEf = Wtotal

Passo 7

Por fim, vamos encontrar a velocidade da caixa após descer a distância $ d $. Podemos usar a equação de movimento com aceleração constante:
d
Aqui, $ v_0 = 0 $ (parte do repouso), e $ a = \frac{g}{4} $. Substituindo:
v^2 = v0^2 + 2 a d
Então,
v0 = 0

Resposta

(a) O trabalho realizado pela tensão do cabo sobre a caixa é $ -\frac{3}{4} M g d $.
(b) O trabalho realizado pela gravidade sobre a caixa é $ M g d $.
© A energia cinética da caixa é $ \frac{1}{4} M g d $.
(d) A velocidade da caixa após descer a distância $ d $ é $ v = \sqrt{\frac{g}{2} d} $.

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