A única força atuando sobre um corpo de 2,0 kg, enquanto este se movimenta no eixo x positivo, é Fx=6 x N, com x dado em metros. A velocidade em x=3,0 m é 8,0 m / s. (a) Qual é a velocidade do corpo em x=4,0 m?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo de 2,0 , kg que se move ao longo do eixo positivo x, com uma força variável de Fx = 6x N atuando sobre ele, onde x está em metros. Sabemos que a velocidade do corpo é de 8,0 , m/s quando x = 3,0 , m. Queremos descobrir qual é a velocidade do corpo quando x = 4,0 , m.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, aceleração e a relação entre velocidade e posição, aplicando a segunda lei de Newton e um pouco de cálculo.

Passo 2

A força que atua sobre o corpo está relacionada à sua aceleração pela segunda lei de Newton, que diz que F = m cdot a. Aqui, Fx = 6x N e a massa m = 2,0 , kg, então podemos encontrar a aceleração a(x):
a(x) = Fxm = 6x2 = 3x , m/s^2

Passo 3

Agora, lembrando que a aceleração também pode ser expressa como a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como estamos relacionando velocidade e posição, podemos usar a relação:
a = v dvdx
Substituindo a aceleração que encontramos:
3x = v dvdx

Passo 4

Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis v e x:
3x , dx = v , dv
Agora, vamos integrar ambos os lados. Para isso, estabelecemos os limites de integração: de x = 3,0 , m a x = 4,0 , m no lado esquerdo, e de v = 8,0 , m/s a v no lado direito.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
integral3^4 3x , dx = 3 [ x^22 ]3^4 = 3 ( 162 - 92 ) = 3 ( 72 ) = 212 = 10,5
Integrando o lado direito:
integral8^v v , dv = [ v^22 ]8^v = v^22 - 642 = v^2 - 642

Passo 6

Igualando os resultados das integrais:
10,5 = v^2 - 642
Multiplicando ambos os lados por 2:
21 = v^2 - 64
Adicionando 64 em ambos os lados:
v^2 = 85

Passo 7

Para encontrar v, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v = raiz85 approx 9,22 , m/s

Resposta

A velocidade do corpo em x = 4,0 , m é aproximadamente 9,22 , m/s.

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