A única força atuando sobre um corpo de
, enquanto este se movimenta no eixo
positivo, é
, com
dado em metros. A velocidade em
é
. (a) Qual é a velocidade do corpo em
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo de
que se move ao longo do eixo positivo
, com uma força variável de
N atuando sobre ele, onde
está em metros. Sabemos que a velocidade do corpo é de
quando
. Queremos descobrir qual é a velocidade do corpo quando
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, aceleração e a relação entre velocidade e posição, aplicando a segunda lei de Newton e um pouco de cálculo.
Passo 2
A força que atua sobre o corpo está relacionada à sua aceleração pela segunda lei de Newton, que diz que
. Aqui,
N e a massa
, então podemos encontrar a aceleração
:
Passo 3
Agora, lembrando que a aceleração também pode ser expressa como a derivada da velocidade em relação ao tempo, mas como estamos relacionando velocidade e posição, podemos usar a relação:
Substituindo a aceleração que encontramos:
Passo 4
Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados. Para isso, estabelecemos os limites de integração: de
a
no lado esquerdo, e de
a
no lado direito.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Passo 6
Igualando os resultados das integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Adicionando 64 em ambos os lados:
Passo 7
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade do corpo em
é aproximadamente
.