A única força atuando sobre um corpo de 2,0 kg, enquanto este se movimenta no eixo x positivo, é Fx=6 x N, com x dado em metros. A velocidade em x=3,0 m é 8,0 m / s. (a) Qual é a velocidade do corpo em x=4,0 m? (b) Para qual valor positivo de x o corpo terá velocidade igual a 5,0 m / s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um corpo de 2 kg se movendo ao longo do eixo x, e a única força que atua sobre ele é $ F_x = 6x $ N, onde $ x $ está em metros. A velocidade do corpo é de 8 m/s quando $ x = 3 $ m. Precisamos descobrir duas coisas:
a) Qual a velocidade quando $ x = 4 $ m?
b) Para qual valor positivo de $ x $ a velocidade será 5 m/s?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho e energia cinética. Vamos calcular o trabalho realizado pela força e relacionar com a mudança na energia cinética do corpo.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a velocidade em $ x = 4 $ m
Primeiro, vamos calcular o trabalho feito pela força $ F_x = 6x $ ao mover o corpo de $ x = 3 $ m até $ x = 4 $ m. O trabalho $ W $ é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
x = 4
Integrando isso:
Fx = 6x
Agora, o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética $ \Delta KE $:
x = 3
Sabemos que $ m = 2 $ kg, $ v_1 = 8 $ m/s. Substituindo:
x = 4
W
W = integral3^4 6x , dx
W = 6 times 12 (4^2 - 3^2) = 3 (16 - 9) = 3 times 7 = 21 , J

Passo 3

Parte (b): Encontrar o valor de $ x $ para que a velocidade seja 5 m/s
Vamos usar a mesma abordagem. O trabalho feito pela força desde $ x = 3 $ m até um ponto desconhecido $ x $ é:
x
A variação da energia cinética é:
x = 3
Igualando o trabalho à variação da energia cinética:
x
W = integral3^x 6x , dx = 3 (x^2 - 9)
De
Como $ x^2 $ não pode ser negativo, não existe um valor positivo de $ x $ que faça a velocidade ser 5 m/s.

Resposta

a) A velocidade do corpo em $ x = 4 $ m é aproximadamente 9,22 m/s.
b) Não existe um valor positivo de $ x $ para o qual a velocidade do corpo seja 5,0 m/s.

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