Caclule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo usando a definição
f(x, y)=e^x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função f(x, y) = e^x+y e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que é uma ferramenta importante no cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , que a gente denota por partial fpartial x . A definição de derivada parcial diz que:
partial fpartial x = limh to 0 f(x + h, y) - f(x, y)h
Isso significa que a gente vai aumentar x um pouquinho, manter y fixo, e ver como a função muda.

Passo 3

Vamos substituir a função f(x, y) = e^x+y na fórmula:
f(x + h, y) = e^(x + h) + y = e^x + y + h = e^x + y cdot e^h
Então, a diferença f(x + h, y) - f(x, y) fica:
e^x + y cdot e^h - e^x + y = e^x + y (e^h - 1)

Passo 4

Agora, vamos substituir essa diferença na definição da derivada parcial:
partial fpartial x = limh to 0 e^x + y (e^h - 1)h = e^x + y cdot limh to 0 e^h - 1h
Sabemos que:
limh to 0 e^h - 1h = 1
Então,
partial fpartial x = e^x + y cdot 1 = e^x + y

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que é partial fpartial y . A abordagem é bem similar a que usamos para x :
partial fpartial y = limk to 0 f(x, y + k) - f(x, y)k
Substituindo a função:
f(x, y + k) = e^x + (y + k) = e^x + y + k = e^x + y cdot e^k
A diferença fica:
e^x + y cdot e^k - e^x + y = e^x + y (e^k - 1)

Passo 6

Substituindo na definição:
partial fpartial y = limk to 0 e^x + y (e^k - 1)k = e^x + y cdot limk to 0 e^k - 1k
E, como antes:
limk to 0 e^k - 1k = 1
Portanto,
partial fpartial y = e^x + y cdot 1 = e^x + y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = e^x+y são:
partial fpartial x = e^x + y e partial fpartial y = e^x + y

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