Caclule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo usando a definição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que é uma ferramenta importante no cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. A definição de derivada parcial diz que:
Isso significa que a gente vai aumentar
um pouquinho, manter
fixo, e ver como a função muda.
Passo 3
Vamos substituir a função
na fórmula:
Então, a diferença
fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa diferença na definição da derivada parcial:
Sabemos que:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. A abordagem é bem similar a que usamos para
:
Substituindo a função:
A diferença fica:
Passo 6
Substituindo na definição:
E, como antes:
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: