Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e na direção em que isso ocorre.
f(x, y)=x e^y+x y, (1,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x e^y + x y
e pede a taxa de variação máxima de f no ponto (1,0) e a direção em que isso ocorre. Para isso vamos usar o vetor gradiente nabla f, pois a direção de maior crescimento de uma função multivariada é a direção do gradiente, e a taxa máxima é o seu módulo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx = partialpartial xl(x e^y + x yr) = e^y + y,
fy = partialpartial yl(x e^y + x yr) = x e^y + x

Passo 3

Avaliamo-las no ponto (1,0):
fx(1,0) = e^0 + 0 = 1,
fy(1,0) = 1cdot e^0 + 1 = 2
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nabla f(1,0) = (1,2)

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo de nabla f(1,0):
|nabla f(1,0)| = raiz1^2 + 2^2 = raiz5

Passo 5

A direção de máximo crescimento é o vetor unitário na direção de nabla f(1,0):
nabla f(1,0)|nabla f(1,0)| =1raiz5,(1,2)

Resposta

A taxa de variação máxima é raiz5 e ocorre na direção l(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r).

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