Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=2 x-3 y3(x-y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais até segunda ordem de
f(x,y)=2x-3y3(x-y)
Vamos usar a regra do quociente: se f=N/D, então
fx=NxD-NDxD^2 e fy=NyD-NDyD^2

Passo 2

Definindo
N=2x-3y, D=3(x-y),
temos
Nx=2,;Ny=-3,;Dx=3,;Dy=-3
Logo, aplicando a regra do quociente,
fx =2cdot3(x-y)-(2x-3y)cdot3[3(x-y)]^2 =y3(x-y)^2,
fy =-3cdot3(x-y)-(2x-3y)(-3)[3(x-y)]^2 =-x3(x-y)^2

Passo 3

Para as segundas derivadas de fx, note que
fx=y3(x-y)^-2
Usando potência e cadeia,
fxx =partialpartial xl[tfracy3(x-y)^-2r] =-2y3(x-y)^-3,
fxy =partialpartial yl[tfracy3(x-y)^-2r] =13(x-y)^-2+2y3(x-y)^-3 =x+y3(x-y)^3

Passo 4

Pelo teorema de Schwarz temos fyx=fxy. Resta calcular fyy. Como
fy=-x3(x-y)^-2,
temos
fyy =partialpartial yl[-tfracx3(x-y)^-2r] =-x3cdot2(x-y)^-3 =-2x3(x-y)^3

Resposta

fx=y3(x-y)^2, fy=-x3(x-y)^2,
fxx=-2y3(x-y)^3, fxy=fyx=x+y3(x-y)^3, fyy=-2x3(x-y)^3

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