Caclule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo usando a definição
f(x, y)=2 x3 y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=2x3y
usando a definição de derivada parcial.
Para isso precisamos lembrar que, ao calcular partial f/partial x, mantemos y constante e usamos
partial fpartial x(x,y)=limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h
e, ao calcular partial f/partial y, mantemos x constante e usamos
partial fpartial y(x,y)=limkto0f(x,y+k)-f(x,y)k,

Passo 2

Calcular partial f/partial x:
Substituindo f(x,y)=2x/(3y) na definição,
partial fpartial x(x,y) =limhto02(x+h)3y-2x3yh =limhto02x+2h-2x3yh =limhto02h3ycdot1h =23y,

Passo 3

Calcular partial f/partial y:
Substituindo na definição,
partial fpartial y(x,y) =limkto02x3(y+k)-2x3yk =limkto02x3,1y+k-1yk =limkto02x3,y-(y+k)y(y+k)k =limkto02x3,-ky(y+k)cdot1k =-2x3,1y(y+k)
e, ao fazer kto0, vem
partial fpartial y(x,y)=-2x3y^2,

Resposta

partial fpartial x(x,y)=23y, partial fpartial y(x,y)=-2x3y^2,

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