Sejam f(x, y) uma função diferenciável. Mostre que em termos das coordenadas polares x= r cos (theta), y=r sen(theta) das derivadas parciais de f em relação a r e theta podem ser escritas:
partial fpartial r(r, theta) & =partial fpartial x(x, y) cos (theta)+partial fpartial y(x, y) sen(theta) partial fpartial theta(r, theta) & =r(partial fpartial y(x, y) cos (theta)-partial fpartial x(x, y) sen(theta))

Passo 1

O enunciado nos dá uma função diferenciável f(x,y) e define as coordenadas polares através de
x = rcos(theta), y = rsen(theta)
Queremos expressar as derivadas parciais partial f/partial r e partial f/partial theta em termos de partial f/partial x e partial f/partial y. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais em funções de várias variáveis.

Passo 2

Para obter partial f/partial r usamos a regra da cadeia:
partial fpartial r = partial fpartial x,partial xpartial r + partial fpartial y,partial ypartial r
Como
partial x/partial r = cos(theta) e
partial y/partial r = sen(theta),
segue que
partial fpartial r = partial fpartial xcos(theta) + partial fpartial ysen(theta)

Passo 3

Para obter partial f/partial theta aplicamos novamente a regra da cadeia:
partial fpartial theta = partial fpartial x,partial xpartial theta + partial fpartial y,partial ypartial theta
Como
partial x/partial theta = -,rsen(theta) e
partial y/partial theta = rcos(theta),
temos
partial fpartial theta = partial fpartial xl(-rsen(theta)r) + partial fpartial yl(rcos(theta)r) = rl(partial fpartial ycos(theta) - partial fpartial xsen(theta)r)

Resposta

partial fpartial r(r,theta) = partial fpartial x(x,y)cos(theta) + partial fpartial y(x,y)sen(theta),
partial fpartial theta(r,theta) = rl(partial fpartial y(x,y)cos(theta) - partial fpartial x(x,y)sen(theta)r)

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