Suponha que, em uma certa região do espaço, o potencial eléctrico V seja dado por
V(x, y, z)=5 x^2-3 x y+x y z
Determine a taxa de variação do potencial em P=(3,4,5), na direção do vetor v=i+j+k.

Passo 1

O enunciado nos dá um potencial elétrico V(x,y,z)=5x^2-3xy+xyz e pede a taxa de variação em P=(3,4,5) na direção do vetor v=i+j+k. O conteúdo é cálculo de gradiente e derivada direcional, em que precisamos usar nabla V e o produto escalar com o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Calculamos o gradiente de V, isto é,
nabla V = (partial Vpartial x,,partial Vpartial y,,partial Vpartial z)
Derivando cada componente, temos
partial Vpartial x=10x-3y+yz, partial Vpartial y=-3x+xz, partial Vpartial z=xy

Passo 3

Agora avaliamos nabla V em P=(3,4,5):
partial Vpartial x(3,4,5)=10cdot3-3cdot4+4cdot5=30-12+20=38,
partial Vpartial y(3,4,5)=-3cdot3+3cdot5=-9+15=6,
partial Vpartial z(3,4,5)=3cdot4=12
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nabla V(3,4,5) = (38,,6,,12)

Passo 4

Para usar derivada direcional, precisamos do vetor unitário na direção de v=(1,1,1). Seu módulo é
|v|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3,
então
u=v|v|=1raiz3,(1,1,1)

Passo 5

A derivada direcional de V em P na direção de u é
DuV(P)=nabla V(P)cdot u =l(38,6,12r)cdot1raiz3(1,1,1) =38+6+12raiz3 =56raiz3

Resposta

A taxa de variação de V em P na direção de v é
56raiz3

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