Em cada série abaixo, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no caso de ela convergir:
sumn=1^infty[2^n sen(n pi+pi / 2)3^2 n-2]

Passo 1

O enunciado pede, para a série
sumn=1^infty2^n,senl(npi+pi/2r)3^2n-2,
que calculemos a soma parcial de ordem N, denotada por SN, e o valor da soma quando a série converge. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, série geométrica, pois veremos que o termo geral se reduz a uma potência constante.

Passo 2

Usamos a identidade de soma de ângulos para o seno:
senl(npi+tfracpi2r) =sen(npi)costfracpi2+cos(npi)sentfracpi2 =0+(-1)^ncdot1 =(-1)^n
Logo, o termo geral vira
an =2^n,(-1)^n3^2n-2

Passo 3

Reescrevendo 3^2n-2=3^2n/3^2=9^n/9, temos
an =2^n(-1)^n9^n/9 =9cdotl(-29r)^n
Portanto a série é geométrica de primeiro termo
a=9l(tfrac-29r)^1=-2
e razão
r=tfrac-29

Passo 4

A soma parcial SN=sumn=1^Nan de uma série geométrica é dada por
SN =a;1-r^N1-r
Aqui a=-2 e r=-tfrac29, logo
SN =-2;1-l(-29r)^N 1-(-29) =-2;1-(-29)^N1+29 =-2;1-(-tfrac29)^Ntfrac119 =-211,l(1-(-tfrac29)^Nr)

Passo 5

Como l|rr|=tfrac29<1, temos limNtoinftyr^N=0. Assim a série converge e
limNtoinftySN =-211,l(1-0r) =-211

Resposta

A soma parcial de ordem N é
SN =-211,l(1-l(-tfrac29r)^Nr),
e a soma da série convergente é
-211

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