Em cada série abaixo, calcule a -ésima soma parcial e o valor da soma da série no caso de ela convergir:
Passo 1
O enunciado pede, para a série
que calculemos a soma parcial de ordem , denotada por , e o valor da soma quando a série converge. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, série geométrica, pois veremos que o termo geral se reduz a uma potência constante.
Passo 2
Usamos a identidade de soma de ângulos para o seno:
Logo, o termo geral vira
Passo 3
Reescrevendo , temos
Portanto a série é geométrica de primeiro termo
e razão
Passo 4
A soma parcial de uma série geométrica é dada por
Aqui e , logo
Passo 5
Como , temos limNtoinftyr^N=0. Assim a série converge e