Em cada série abaixo, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no caso de ela convergir:
sumn=1^infty 2^n+13^2 n

Passo 1

O enunciado pede a n-ésima soma parcial e, se possível, a soma total da série
sumn=1^infty 2^n+13^2n
O conteúdo envolvido é séries geométricas e usaremos a fórmula da soma parcial
SN = a,1-r^N1-r,
onde a é o primeiro termo e r a razão.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral. Para cada n,
2^n+13^2n =2cdot2^n(3^2)^n =2gl(29gr)^n
Logo, a série torna-se
sumn=1^infty2gl(29gr)^n,
que é geométrica com primeiro termo
a = 2gl(29gr)^1 = 49
e razão
r = 29

Passo 3

Usando a fórmula da soma parcial de uma série geométrica,
SN = a,1-r^N1-r =49,1-l(tfrac29r)^N1-tfrac29 =49,1-l(tfrac29r)^Ntfrac79 =47l(1-l(tfrac29r)^Nr)

Passo 4

Como lvert rrvert = tfrac29<1, a série converge e
limNtoinftySN =47l(1-0r) =47

Resposta

A n-ésima soma parcial é
SN=47l(1-l(tfrac29r)^Nr),
e o valor da soma da série é
sumn=1^infty2^n+13^2n=47

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