Caclule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo usando a definição
f(x, y, z)=x^2+y^2-3 z

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 3z $. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a encontrar como a função muda em relação a uma variável enquanto as outras permanecem constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Usamos a definição:
x
Substituindo $ f(x, y, z) $ na expressão:
partial fpartial x
Então:
partial fpartial x = limh to 0 f(x + h, y, z) - f(x, y, z)h
Simplificando:
f(x, y, z)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Usamos a definição:
y
Substituindo $ f(x, y, z) $ na expressão:
partial fpartial y
Então:
partial fpartial y = limh to 0 f(x, y + h, z) - f(x, y, z)h
Simplificando:
f(x, y, z)

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Usamos a definição:
z
Substituindo $ f(x, y, z) $ na expressão:
partial fpartial z
Então:
partial fpartial z = limh to 0 f(x, y, z + h) - f(x, y, z)h
Simplificando:
f(x, y, z)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 3z $ são:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 3z
partial fpartial x = 2x
partial fpartial y = 2y

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