Caclule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo usando a definição
Passo 1
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 3z $. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a encontrar como a função muda em relação a uma variável enquanto as outras permanecem constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Usamos a definição:
Substituindo $ f(x, y, z) $ na expressão:
Então:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Usamos a definição:
Substituindo $ f(x, y, z) $ na expressão:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial z} $. Usamos a definição:
Substituindo $ f(x, y, z) $ na expressão:
Então:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 3z $ são: