Mostre que, para todo natural n, tem-se
integral0^pi2 sin ^2 n+1 x d xintegral0^pi2 sin ^2 n x d x=(2 n)^2(2 n+1)(2 n-1) cdot (2 n-2)^2(2 n-1)(2 n-3) cdots 2^23 cdot 1 2pi
Dos itens acima, conclua que
lim n +infty 2^2 cdot 4^2 cdots(2 n)^2(1 cdot 3)(3 cdot 5) cdots(2 n-1)(2 n+1)=pi2

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, para todo inteiro n>=1,
integral0^pi2sin^2n+1x,dxintegral0^pi2sin^2nx,dx =(2n)^2(2n+1)(2n-1);(2n-2)^2(2n-1)(2n-3);cdots;2^23cdot1;2pi
O conteúdo necessário é a fórmula de redução para
Im=integral0^pi2sin^mx,dx
e os valores iniciais I0 e I1.

Passo 2

Use integração por partes em
Im=integral0^pi2sin^mx,dx
com u=sin^m-1x e dv=sin x,dx. Isso leva à redução
Im=m-1m,Im-2

Passo 3

Para k>=1 aplicamos a redução em potências par e ímpar:
I2k+1=2k2k+1,I2k-1, I2k=2k-12k,I2k-2
Daí
I2k+1I2k =2k2k+1;I2k-1I2k =2k2k+1;2k2k-1
Multiplicando essa relação para k=1,2,dots,n e usando
I1I0 =integral0^pi2sin x,dx integral0^pi21,dx =1pi2 =2pi,
obtém-se
I2n+1I2n =prodk=1^n(2k)^2(2k+1)(2k-1);2pi

Passo 4

Defina
Pn =2^2cdot4^2cdots(2n)^2 (1cdot3)(3cdot5)cdotsl((2n-1)(2n+1)r)
Então
I2n+1I2n =Pn,2pi
Por desigualdades ou pelo Teorema da Convergência Dominada segue
limntoinftyI2n+1I2n=1
Logo
limntoinftyPn =pi2

Resposta

pi2

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