Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os 5 primeiros termos da série geométrica , descobrir se essa série converge (tem um valor definido) ou diverge (não tem valor definido), e se convergir, calcular a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e entender como identificar o primeiro termo e a razão da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo e a razão da série geométrica. A série é da forma geral:
Comparando com a nossa série , podemos reescrever o termo geral da seguinte maneira:
Então, o primeiro termo é e a razão é .
Passo 3
Agora, vamos escrever os 5 primeiros termos usando e .
Primeiro termo ():
Segundo termo ():
Terceiro termo ():
Quarto termo ():
Quinto termo ():
Então, os 5 primeiros termos são:
Passo 4
Para determinar se a série converge ou diverge, vamos usar a regra das séries geométricas. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão , e diverge se .
No nosso caso, a razão . Calculando o valor absoluto:
Como , a série converge.
Passo 5
Como a série converge, vamos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde e .
Substituindo na fórmula:
Resposta
Os 5 primeiros termos da série são , , , e . A série converge e a soma dela é .