Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
sumn=1^infty (-2)^n-13^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os 5 primeiros termos da série geométrica sumn=1^infty (-2)^n-13^n, descobrir se essa série converge (tem um valor definido) ou diverge (não tem valor definido), e se convergir, calcular a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e entender como identificar o primeiro termo e a razão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo e a razão da série geométrica. A série é da forma geral:
sumn=1^infty ar^n-1
Comparando com a nossa série sumn=1^infty (-2)^n-13^n, podemos reescrever o termo geral da seguinte maneira:
(-2)^n-13^n = (-23)^n-1 cdot 13
Então, o primeiro termo a é 13 e a razão r é -23.

Passo 3

Agora, vamos escrever os 5 primeiros termos usando a = 13 e r = -23.
  • Primeiro termo ( n=1):
a1 = 13
  • Segundo termo ( n=2):
a2 = a cdot r = 13 cdot -23 = -29
  • Terceiro termo ( n=3):
a3 = a cdot r^2 = 13 cdot (-23)^2 = 13 cdot 49 = 427
  • Quarto termo ( n=4):
a4 = a cdot r^3 = 13 cdot (-23)^3 = 13 cdot -827 = -881
  • Quinto termo ( n=5):
a5 = a cdot r^4 = 13 cdot (-23)^4 = 13 cdot 1681 = 16243
Então, os 5 primeiros termos são:
13, -29, 427, -881, 16243

Passo 4

Para determinar se a série converge ou diverge, vamos usar a regra das séries geométricas. Uma série geométrica sumn=1^infty ar^n-1 converge se o valor absoluto da razão |r| < 1, e diverge se |r| >= 1.
No nosso caso, a razão r = -23. Calculando o valor absoluto:
|r| = |-23| = 23 < 1
Como |r| < 1, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, vamos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde a = 13 e r = -23.
Substituindo na fórmula:
S = 131 - (-23) = 131 + 23 = 1353 = 13 cdot 35 = 15

Resposta

Os 5 primeiros termos da série são 13, -29, 427, -881 e 16243. A série converge e a soma dela é 15.

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