Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os 5 primeiros termos da série geométrica , descobrir se essa série converge (tem um valor definido) ou diverge (não tem valor definido), e se convergir, calcular a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e entender como identificar o primeiro termo e a razão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo e a razão da série geométrica. A série é da forma geral:
Comparando com a nossa série , podemos reescrever o termo geral da seguinte maneira:
Então, o primeiro termo é e a razão é .

Passo 3

Agora, vamos escrever os 5 primeiros termos usando e .
  • Primeiro termo ( ):
  • Segundo termo ( ):
  • Terceiro termo ( ):
  • Quarto termo ( ):
  • Quinto termo ( ):
Então, os 5 primeiros termos são:

Passo 4

Para determinar se a série converge ou diverge, vamos usar a regra das séries geométricas. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão , e diverge se .
No nosso caso, a razão . Calculando o valor absoluto:
Como , a série converge.

Passo 5

Como a série converge, vamos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde e .
Substituindo na fórmula:

Resposta

Os 5 primeiros termos da série são , , , e . A série converge e a soma dela é .

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